\text{(ii) duas condições iniciais dadas: }C_A(0)=1,\;C_B(0)=0;çõ
\text{(iii) não foi explicitamente dada }C_C(0)\text{ no enunciado.}ã
Para obter uma solução única para o sistema de ordem 3 precisamos de uma condição inicial para cada componente. Vou assumir, para que a solução seja única e possa ser determinada numericamente, que
C_C(0)=0.
Se você tiver outro valor para C_C(0), dá para reaplicar o mesmo procedimento trocando só essa condição.]
Passo 2
Colocamos o sistema na forma matricial \mathbf{C}'=A\mathbf{C} com
Ou seja, resolvemos \mathbf{C}'(t)=A\mathbf{C}(t) com \mathbf{C}(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} (usei a suposição C_C(0)=0).]
Passo 3
Vamos usar o método com autovalores e autovetores. Ideia principal (passo-a-passo didático):
Procuramos autovalores \lambda e autovetores v tais que A v=\lambda v.
Se A tem um conjunto de vetores apropriado (no caso real podemos ter autovalores complexos em conjugados), a solução geral é combinação linear de termos e^{\lambda t}v.
Se aparecerem autovalores complexos \alpha\pm i\beta com autovetor p+i q (onde p,q são reais), então as soluções reais associadas são
Interpretação prática: temos um autovalor real \lambda_1=1 e um par complexoconjugado \lambda_{2,3}=1\pm 2i. Então a solução geral real será combinação de
e^{t} v_1 (autovetor real para \lambda_1), e
duas soluções reais obtidas a partir do autovetor complexo associado a \lambda=1+2i, com fator e^{t} multiplicando senos/cossenos de frequência 2.
Passo 6
Calculamos o autovetor para \lambda_1=1. Resolvemos (A-I)v=0:
Da primeira vem x=z. Da segunda vem y=-\tfrac{3}{2}x. Tomando x=2 (para evitar frações), obtemos y=-3,\;z=2. Assim um autovetor real associado a \lambda_1=1 é