Resolva os sistemas de EDO’s, utilizando os autovalores e autovetores
\begin{cases}\frac{d C_{A}}{d t}=C_{A} & C_{A}(0)=1 \\\ \frac{d C_{B}}{d t}=2 C_{A}+C_{B}-2 C_{C} & C_{B}(0)=0 \\\ \frac{d C_{C}}{d t}=3 C_{A}+2 C_{B}+C_{C} & \end{cases}

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de EDOs e condições iniciais:
\begin{cases} \frac{d C_{A}}{d t}=C_{A}, & C_{A}(0)=1,\\[4pt] \frac{d C_{B}}{d t}=2 C_{A}+C_{B}-2 C_{C}, & C_{B}(0)=0,\\[4pt] \frac{d C_{C}}{d t}=3 C_{A}+2 C_{B}+C_{C}. & \end{cases}
Informações relevantes listadas:
\text{(i) variáveis: }C_A(t),\;C_B(t),\;C_C(t);á
\text{(ii) duas condições iniciais dadas: }C_A(0)=1,\;C_B(0)=0;çõ
\text{(iii) não foi explicitamente dada }C_C(0)\text{ no enunciado.}ã
Para obter uma solução única para o sistema de ordem 3 precisamos de uma condição inicial para cada componente. Vou assumir, para que a solução seja única e possa ser determinada numericamente, que
C_C(0)=0.
Se você tiver outro valor para C_C(0), dá para reaplicar o mesmo procedimento trocando só essa condição.]

Passo 2

Colocamos o sistema na forma matricial \mathbf{C}'=A\mathbf{C} com
\mathbf{C}(t)=\begin{pmatrix}C_A(t)\\[4pt]C_B(t)\\[4pt]C_C(t)\end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]2 & 1 & -2\\[4pt]3 & 2 & 1\end{pmatrix}.
Ou seja, resolvemos \mathbf{C}'(t)=A\mathbf{C}(t) com \mathbf{C}(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} (usei a suposição C_C(0)=0).]

Passo 3

Vamos usar o método com autovalores e autovetores. Ideia principal (passo-a-passo didático):
  • Procuramos autovalores \lambda e autovetores v tais que A v=\lambda v.
  • Se A tem um conjunto de vetores apropriado (no caso real podemos ter autovalores complexos em conjugados), a solução geral é combinação linear de termos e^{\lambda t}v.
  • Se aparecerem autovalores complexos \alpha\pm i\beta com autovetor p+i q (onde p,q são reais), então as soluções reais associadas são
e^{\alpha t}\big(p\cos(\beta t)-q\sin(\beta t)\big) \quad\text{e}\quad e^{\alpha t}\big(p\sin(\beta t)+q\cos(\beta t)\big),
ou seja, transformamos a contribuição complexa em duas soluções reais usando seno e cosseno. Isso garante a solução real do sistema.

Passo 4

Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I). Como a primeira linha de A-\lambda I é (1-\lambda,0,0), temos
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -2\\[4pt]2 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)\big((1-\lambda)^2+4\big).
Logo os autovalores são as raízes:
\lambda_1=1,\qquad \lambda_{2,3}=1\pm 2i.]

Passo 5

Interpretação prática: temos um autovalor real \lambda_1=1 e um par complexoconjugado \lambda_{2,3}=1\pm 2i. Então a solução geral real será combinação de
  • e^{t} v_1 (autovetor real para \lambda_1), e
  • duas soluções reais obtidas a partir do autovetor complexo associado a \lambda=1+2i, com fator e^{t} multiplicando senos/cossenos de frequência 2.

Passo 6

Calculamos o autovetor para \lambda_1=1. Resolvemos (A-I)v=0:
A-I=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\[4pt]2 & 0 & -2\\[4pt]3 & 2 & 0\end{pmatrix}.
As equações são
2x-2z=0,\qquad 3x+2y=0.
Da primeira vem x=z. Da segunda vem y=-\tfrac{3}{2}x. Tomando x=2 (para evitar frações), obtemos y=-3,\;z=2. Assim um autovetor real associado a \lambda_1=1 é
v_1=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calculamos um autovetor para \lambda=1+2i. Escrevemos A-(1+2i)I e resolvemos (A-(1+2i)I)v=0. Note que 1-(1+2i)=-2i, então
A-(1+2i)I=\begin{pmatrix}-2i & 0 & 0\\[4pt]2 & -2i & -2\\[4pt]3 & 2 & -2i\end{pmatrix}.
Da primeira linha segue -2i\, x=0\Rightarrow x=0. Usando x=0 nas outras duas equações obtemos, por exemplo, da segunda:
-2i\, y -2 z=0 \Longrightarrow z=-i y.
Tomando y=1 (livre), temos z=-i. Logo um autovetor associado a \lambda=1+2i é
v_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-i\end{pmatrix}.
Escrevemos v_2=p+i q com vetores reais p,q: aqui
p=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad q=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Construímos a solução geral real. Pela teoria, a solução geral é combinação de
e^{t}v_1
e de
e^{t}\big(p\cos(2t)-q\sin(2t)\big),\qquad e^{t}\big(p\sin(2t)+q\cos(2t)\big).
Então a forma geral real é
\mathbf{C}(t)=k_1 e^{t}\begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix} +e^{t}\Big[ k_2\big(\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}\cos 2t -\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}\sin 2t\big) + k_3\big(\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}\sin 2t +\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}\cos 2t\big)\Big],
onde k_1,k_2,k_3 são constantes reais a ajustar pelas condições iniciais. Vamos escrever componente a componente (simplificando as operações):
C_A(t)=2k_1 e^{t},
C_B(t)=e^{t}\big(-3k_1 + k_2\cos 2t + k_3\sin 2t\big),
C_C(t)=e^{t}\big(2k_1 + k_2\sin 2t - k_3\cos 2t\big).]

Passo 9

Aplicamos as condições iniciais \mathbf{C}(0)=(1,0,0)^T.
Em t=0:
C_A(0)=2k_1=1 \Longrightarrow k_1=\tfrac{1}{2}.
C_B(0)=-3k_1 + k_2 =0 \Longrightarrow k_2=3k_1=\tfrac{3}{2}.
C_C(0)=2k_1 - k_3 =0 \Longrightarrow k_3=2k_1=1.
Assim k_1=\tfrac12,\;k_2=\tfrac32,\;k_3=1.

Passo 10

Substituímos as constantes obtidas nas fórmulas das componentes e simplificamos:
C_A(t)=2\cdot\tfrac{1}{2}\,e^{t}=e^{t},
C_B(t)=e^{t}\Big(-3\cdot\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2}\cos 2t + 1\cdot\sin 2t\Big) =e^{t}\Big(-\tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{2}\cos 2t + \sin 2t\Big),
C_C(t)=e^{t}\Big(2\cdot\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2}\sin 2t - 1\cdot\cos 2t\Big) =e^{t}\Big(1 + \tfrac{3}{2}\sin 2t - \cos 2t\Big).

Resposta

C_{A}(t)=e^{t}\n
C_{B}(t)=e^{t}\Big(-\tfrac{3}{2}+\tfrac{3}{2}\cos 2t+\sin 2t\Big)\n
C_{C}(t)=e^{t}\Big(1+\tfrac{3}{2}\sin 2t-\cos 2t\Big)

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