Resolva os sistemas de EDO’s, utilizando os autovalores e autovetores
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais com condições iniciais e pede as soluções
O que se pede: encontrar explicitamente as funções
que satisfazem o sistema e as condições iniciais.]
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial para trabalhar de maneira organizada. Definimos o vetor
então o sistema pode ser escrito como
onde a matriz
é obtida pelos coeficientes das equações:
Explicação rápida do porquê: a derivada do vetor é dada pela multiplicação da matriz de coeficientes pela solução; isso transforma o sistema em um único problema matricial.]
Passo 3
Para resolver
pela técnica sugerida, procuramos os autovalores
de
, que são raízes do polinômio característico
Calculamos:
logo
Desenvolvendo passo a passo:
então
Agora resolvemos a equação quadrática
Fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes
portanto
Passo 4
Agora encontramos um autovetor correspondente a
. Resolvemos
:
A equação para o vetor
é
Escolhemos
(escalamos livremente um autovetor), então um autovetor é
Observação: qualquer múltiplo de
também serve, então a escolha
é só para simplificar.]
Passo 5
Agora o autovetor para
. Resolvemos
:
A equação é
Escolhendo
obtemos o autovetor
Passo 6
Justificativa e forma geral da solução: se
é um autovetor de
com autovalor
, então a função
satisfaz
, porque
Como temos dois autovalores distintos com autovetores linearmente independentes
e
, a solução geral do sistema é combinação linear:
ou explicitamente
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.]
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
. Em
temos
Igualando às componentes da condição inicial:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Então
Passo 8
Substituímos
e
na solução geral. Obtemos
Separando as componentes para
e
:
Podemos conferir rapidamente as condições iniciais: em
,
e
, OK.]