Resolva as EDO’s utilizando Laplace e produto de convolução:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y=\cos (x) \\\ y(0)=y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' + y = \cos(x)
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0, usando transformada de Laplace e produto de convolução.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo. Lembrando que
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0), \quad \mathcal{L}\{\cos x\}(s)=\frac{s}{s^2+1},
e usando y(0)=0, y'(0)=0, obtemos
(s^2+1)\,Y(s) =\frac{s}{s^2+1} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{s}{(s^2+1)^2}.

Passo 3

Para inverter Y(s) por convolução, note que
\frac{s}{(s^2+1)^2} =\frac{1}{s^2+1}\;\cdot\;\frac{s}{s^2+1}.
Pela teorema do produto de convolução,
y(x) =\int_{0}^{x}h(u)\,f(x-u)\,du
onde
h(u)=\sin u=\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2+1}\}, \quad f(u)=\cos u=\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+1}\}.
Logo
y(x)=\int_{0}^{x}\sin u\;\cos(x-u)\,du.

Passo 4

Para calcular a integral, use a identidade
\sin u\cos(x-u) =\tfrac12\bigl[\sin x+\sin(2u-x)\bigr].
Então
y(x) =\tfrac12\int_{0}^{x}\sin x\,du +\tfrac12\int_{0}^{x}\sin(2u-x)\,du.
A primeira integral vale \tfrac12\,x\sin x e a segunda é zero por simetria, resultando em
y(x)=\frac{x}{2}\,\sin x.

Resposta

y(x)=\frac{x}{2}\sin x.

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