Resolva as EDOs via série de Potências
16 x^2 y^prime prime-40 x y^prime+(32 x+13) y=0

Passo 1

O enunciado pede pra usar séries de potências (método de Frobenius) pra resolver a EDO
16x^2y''-40xy'+(32x+13)y=0. Vamos precisar supor uma solução do tipo
y(x)=sumn=0^infty anx^n+r, calcular as derivadas, montar a equação e achar o valor de r (equação indicial) e depois a relação de recorrência entre os an.

Passo 2

A hipótese de Frobenius é
y(x)=sumn=0^inftyanx^n+r,
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y'(x)=sumn=0^inftyan(n+r)x^n+r-1,
y''(x)=sumn=0^inftyan(n+r)(n+r-1)x^n+r-2

Passo 3

Substituindo na equação:
16x^2y''-40xy'+(32x+13)y=0
fica
16sumn=0^infty an(n+r)(n+r-1)x^n+r-40sumn=0^infty an(n+r)x^n+r+32sumn=0^infty anx^n+r+1+13sumn=0^infty anx^n+r=0
O termo com x^n+r+1 a gente reindexa: 32sumn=1^infty an-1x^n+r.

Passo 4

Agora juntamos os somatórios em potências de x^n+r. Para n=0 vem a equação indicial:
16r(r-1)-40r+13=0
Resolvendo:
16r^2-56r+13=0implies r=56pmraiz56^2-4cdot16cdot1332= rac56pm4832,
portanto
r1=13/4 e r2=1/4.

Passo 5

Para n>=1, os coeficientes de x^n+r dão a relação de recorrência
[16(n+r)(n+r-1)-40(n+r)+13]an+32an-1=0
ou seja
an=-3216(n+r)^2-56(n+r)+13,an-1

Passo 6

Pronto! Temos duas soluções independentes de Frobenius:
y1(x)=x^13/4sumn=0^infty an^(1)x^n,
y2(x)=x^1/4sumn=0^infty an^(2)x^n,
onde cada sequência an^(i) satisfaz a recorrência acima com r=ri.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1x^13/4sumn=0^inftyan^(1)x^n+ C2x^1/4sumn=0^inftyan^(2)x^n,
com recorrência
an^(i)=-3216(n+ri)^2-56(n+ri)+13,an-1^(i),
e r1=13/4, r2=1/4.

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