Resolva as EDOs:
y^{\prime}+3 t^{2} y=e^{-t^{3}+t}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
y' + 3t^{2}\,y = e^{-t^{3} + t}.
O método é usar o fator integrante para um ODE da forma \,y' + p(t)\,y = g(t)\,, onde aqui p(t)=3t^2.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\Bigl(\int p(t)\,\mathrm{d}t\Bigr) = \exp\Bigl(\int 3t^{2}\,\mathrm{d}t\Bigr) = \exp\bigl(t^{3}\bigr).

Passo 3

Multiplicamos toda a EDO por \mu(t)=e^{t^3}. O lado esquerdo fica
e^{t^{3}}\,y' + 3t^{2}\,e^{t^{3}}\,y
que é exatamente a derivada do produto y\,e^{t^{3}}. Assim obtemos
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(y\,e^{t^{3}}\bigr) = e^{t^{3}}\cdot e^{-t^{3}+t} = e^{t}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em t:
y\,e^{t^{3}} = \int e^{t}\,\mathrm{d}t = e^{t} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y:
y(t) = e^{-t^{3}}\bigl(e^{t} + C\bigr) = e^{-t^{3}+t} + C\,e^{-t^{3}}.

Resposta

y(t) = e^{-t^{3}+t} + C\,e^{-t^{3}},
sendo C constante arbitrária.

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