Resolva a equação \frac{d y}{d x}=\frac{x}{y^{2} \sqrt{1+x}}
Escolha uma opção:
a. Resolvido.
b. Não consegui resolver.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{x}{y^{2}\sqrt{1+x}}.
O conteúdo envolvido é equação de variáveis separáveis. Vamos separar y e x e integrar.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por y^{2}\,dx para obter
y^{2}\,dy=\frac{x}{\sqrt{1+x}}\,dx.

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
\int y^{2}\,dy = \int \frac{x}{\sqrt{1+x}}\,dx.
No lado esquerdo,
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.
No lado direito, fazemos u=1+x, du=dx, x=u-1:
\int \frac{x}{\sqrt{1+x}}\,dx =\int (u-1)\,u^{-\tfrac12}\,du =\int \bigl(u^{\tfrac12}-u^{-\tfrac12}\bigr)\,du =\frac{2}{3}u^{\tfrac32}-2u^{\tfrac12}+C.

Passo 4

Voltando a u=1+x, igualamos as primitivas:
\frac{y^{3}}{3} =\frac{2}{3}(1+x)^{\tfrac32} -2(1+x)^{\tfrac12}+C.
Multiplicando tudo por 3 e renomeando 3C como constante K, obtemos a solução geral implícita:
y^{3} =2(1+x)^{\tfrac32}-6(1+x)^{\tfrac12}+K.

Resposta

a. Resolvido.

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