Resolva as EDOs
y^prime prime+3 y^prime-4 y=(x^3+x) e^x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem não-homogênea
y'' + 3y' - 4y = (x^3 + x)e^x
Este é um caso de equação linear com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução geral como soma da solução homogênea e de uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Começamos achando a solução da equação homogênea associada
y'' + 3y' - 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 3r - 4 = 0
Resolvendo,
r = -3 pm raiz9 + 162 = -3 pm 52 implies r = 1 ou r = -4
Portanto a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 e^-4x

Passo 3

Para a parte não-homogênea usamos coeficientes indeterminados. O termo à direita é da forma (polinômio de grau 3),e^xô, e como e^x é solução homogênea simples (raí­z r=1 de multiplicidade 1), nosso palpite para a solução particular é
yp(x) = x,Q(x)e^x,
onde Q(x) é polinômio de grau 3 genérico
Q(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d
Isso gera um polinômio de grau 4 dentro de yp, sem termo independente.

Passo 4

Vamos derivar yp. Definindo Q(x)=ax^3+bx^2+cx+d, temos
yp = Q(x)e^x x,
mas é mais prático usar o ansatz equivalente
yp = (A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x)e^x,
que já engloba xQ(x)e^x. Então calculamos
Q1(x)=A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x,
Q1'(x)=4A x^3 + 3B x^2 + 2C x + D,
Q1''(x)=12A x^2 + 6B x + 2C
Sabemos que para yp=(Q1 e^x) vale
yp'' + 3yp' - 4yp = (Q1'' + 5Q1')e^x
Então impomos
Q1''(x) + 5Q1'(x) = x^3 + x

Passo 5

Substituindo os polinômios:
Q1'' + 5Q1'= (12A x^2 + 6B x + 2C) + 5(4A x^3 + 3B x^2 + 2C x + D)
= 20A x^3 + (12A + 15B)x^2 + (6B + 10C)x + (2C + 5D)
Igualando a x^3 + 0x^2 + x + 0 obtemos o sistema:
20A = 1,
12A + 15B = 0,
6B + 10C = 1,
2C + 5D = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema:
A = 120,
12cdot120 + 15B = 0 implies B = -125,
6l(-tfrac125r) + 10C = 1 implies C = 31250,
2cdot31250 + 5D = 0 implies D = -31625
Logo
yp(x) = e^xl(tfrac120x^4 - tfrac125x^3 + tfrac31250x^2 - tfrac31625xr)

Passo 7

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^-4x + e^xl(tfrac120x^4 - tfrac125x^3 + tfrac31250x^2 - tfrac31625xr)

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