Resolva as EDOs
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem não-homogênea
Este é um caso de equação linear com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução geral como soma da solução homogênea e de uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Começamos achando a solução da equação homogênea associada
A equação característica é
Resolvendo,
Portanto a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte não-homogênea usamos coeficientes indeterminados. O termo à direita é da forma
, e como
é solução homogênea simples (raíz
de multiplicidade 1), nosso palpite para a solução particular é
onde
é polinômio de grau 3 genérico
Isso gera um polinômio de grau 4 dentro de
, sem termo independente.
Passo 4
Vamos derivar
. Definindo
, temos
mas é mais prático usar o ansatz equivalente
que já engloba
. Então calculamos
Sabemos que para
vale
Então impomos
Passo 5
Substituindo os polinômios:
Igualando a
obtemos o sistema:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Logo
Passo 7
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular: