Resolva as equaçÔes abaixo. Use um fator integrante para equaçÔes exatas, se preciso.
Passo 1
A equação diferencial dada é
. O conteúdo aqui é equação de ordem 1 na forma
e vamos precisar testar se é exata e, se não for, encontrar um fator integrante apropriado.
Passo 2
Para testar se a equação é exata, computamos as derivadas parciais
e
. Aqui temos:
Logo:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante que dependa só de
. Usamos a condição:
que é função só de
. Então:
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Isso dá:
ou
Passo 5
Agora é exata, pois definindo
vemos
Passo 6
Procuramos uma função potencial
tal que
e
. Integramos
em relação a
:
Passo 7
Derivando essa
em relação a
e igualando a
encontramos
de onde
e, portanto,
é constante.
Passo 8
A solução implícita final fica:
o que resolve a equação diferencial dada.