Resolva as equaçÔes abaixo. Use um fator integrante para equaçÔes exatas, se preciso.

Passo 1

A equação diferencial dada é (x^4-x+y),dx - x,dy = 0. O conteúdo aqui é equação de ordem 1 na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 e vamos precisar testar se é exata e, se não for, encontrar um fator integrante apropriado.

Passo 2

Para testar se a equação é exata, computamos as derivadas parciais My e Nx. Aqui temos:
M(x,y)=x^4 - x + y, N(x,y)=-x
Logo:
partial Mpartial y=1, partial Npartial x=-1
Como My neq Nx, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante que dependa só de x. Usamos a condição:
mu(x) satisfaz My - NxN=1-(-1)-x=2-x=-2x,
que é função só de x. Então:
mu(x)=expl(integral -tfrac2x,dxr)=exp(-2ln|x|)=x^-2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^-2. Isso dá:
(x^4 - x + y)x^-2,dx - x,x^-2,dy=0
ou
(x^2 - x^-1 + y,x^-2),dx - x^-1,dy=0

Passo 5

Agora é exata, pois definindo
M1(x,y)=x^2 - x^-1 + y,x^-2, N1(x,y)=-x^-1,
vemos
partial M1partial y=x^-2, partial N1partial x=x^-2

Passo 6

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que psix=M1 e psiy=N1. Integramos M1 em relação a x:
psi(x,y)=integral (x^2 - x^-1 + y,x^-2),dx =x^33-ln|x|-y,x^-1+h(y)

Passo 7

Derivando essa psi em relação a y e igualando a N1 encontramos
psiy=-x^-1+h'(y)stackrel!= -x^-1
de onde h'(y)=0 e, portanto, h(y) é constante.

Passo 8

A solução implícita final fica:
x^33-ln|x|-yx=C,
o que resolve a equação diferencial dada.

Resposta

tfracx^33-ln|x|-tfracyx=C

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