Resolva as equaçÔes diferenciais:
(x+y) d x+(x+2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y) = x + y, N(x,y) = x + 2y
O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem exatas. Vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que
dF = M,dx + N,dy

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(x+y) = 1, partial Npartial x = partialpartial x(x+2y) = 1
Como
partial Mpartial y = partial Npartial x,
a forma é exata.

Passo 3

Buscamos F(x,y) tal que
partial Fpartial x = M(x,y) = x + y
Integramos em relação a x:
F(x,y) = integral (x+y),dx = x^22 + x,y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para encontrar h(y), impomos
partial Fpartial y = x + h'(y)
deve ser igual a N(x,y)=x+2y. Assim,
x + h'(y) = x + 2y Longrightarrow h'(y) = 2y Longrightarrow h(y) = y^2
Logo, a função potencial é
F(x,y) = x^22 + x,y + y^2

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x^22 + x,y + y^2 = C,
onde C é uma constante arbitrária.

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