Resolva as equaçÔes diferencias:
y d x+(x-12 x^2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y,dx + l(x - tfrac12 x^2yr),dy = 0
O conteúdo principal é reconhecer combinações que formam derivadas de produtos e usar uma substituição conveniente para transformar em uma equação separável.

Passo 2

Repare que
y,dx + x,dy = d(xy)
Logo podemos reescrever a equação original como
d(xy) ;-;tfrac12,x^2y,dy ;=;0

Passo 3

Faça a substituição
u = xy
Então d(xy)=du e x^2y = xcdot(xy)=x,u. Além disso, como u=xy temos x=u/y. Substituindo, a equação vira
du ;-;tfrac12,(x,u),dy = 0 Longrightarrow du = tfrac12,x,u,dy Longrightarrow du = tfrac12,u^2y,dy

Passo 4

Agora a equação está separável em u e y:
duu^2 = 12,dyy

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral duu^2 = integral 12,dyy Longrightarrow -,1u = 12lnlvert yrvert + C
Reescrevendo,
1u + 12lnlvert yrvert = C'

Passo 6

Voltando à variável original u=xy, obtemos
1xy + 12lnlvert yrvert = C'
Multiplicando por 2 e renomeando a constante, fica de forma mais simples:
2xy + lnlvert yrvert = C

Resposta

boxed2xy + lnlvert yrvert = C,
onde C é constante arbitrária.

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