Resolva as equaçÔes diferencias:
y^prime+2 yx=x^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y'(x) + 2,y(x)x = x^3
Este é um caso clássico de EDO linear. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
y' + p(x),y = q(x),
onde
p(x) = 2x, q(x) = x^3

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integral 2x,dxr) = expl(2ln|x|r) = x^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x^2:
x^2y' + 2x,y = x^5
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^2y, ou seja,
ddxl(x^2yr) = x^5

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2y = integral x^5,dx = x^66 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, obtemos
y = 1x^2l(x^66 + Cr) = x^46 + C,x^-2

Resposta

y(x) = x^46 + C,x^-2,
onde C é constante arbitrária.

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