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Encontre uma fórmula para o termo geral an, da sequência 1,-23, 49,-827, ldots, considerando que o padrão dos primeiros termos continua. ( 2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos uma fórmula geral para o termo an da sequência 1, -23, 49, -827, ldots. Isso envolve trabalhar com sequências, especificamente identificando o padrão e criando uma expressão que nos permita calcular qualquer termo da sequência sem precisar listar todos os anteriores.

Passo 2

Primeiro, vamos observar como os termos da sequência estão se comportando. Olhando para os primeiros termos:
  • a1 = 1
  • a2 = -23
  • a3 = 49
  • a4 = -827
Percebemos que os sinais dos termos alternam entre positivo e negativo. Além disso, o numerador está dobrando a cada termo ( 1, 2, 4, 8, ldots) e o denominador está triplicando ( 1, 3, 9, 27, ldots).

Passo 3

Vamos separar o padrão em duas partes: o sinal e a fração.
  1. Sinal Alternado: Para alternar os sinais, usamos (-1)^n-1. Isso porque quando n aumenta, o sinal muda:
    • Quando n = 1: (-1)^0 = 1 (positivo)
    • Quando n = 2: (-1)^1 = -1 (negativo)
    • E assim por diante.
  2. Fração com Numerador e Denominador:
    • Numerador: Começa em 1 e a cada termo multiplica por 2, então usamos 2^n-1.
    • Denominador: Começa em 1 e a cada termo multiplica por 3, então usamos 3^n-1.

Passo 4

Agora, juntando essas duas partes, a fórmula geral para o termo an fica:
an = (-1)^n-1 cdot 2^n-13^n-1

Resposta

A fórmula geral para o termo an da sequência é:
an = (-1)^n-1 cdot 2^n-13^n-1

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