Use um fator integrante se preciso.
Encontre as soluções de
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
ou seja, encontrar suas soluções gerais. O conteúdo aqui é equação diferencial de primeira ordem homogênea. Vamos precisar reescrevê-la na forma diferencial , verificar exatidão e, por ser homogênea, usar a substituição .
Passo 2
Reescrevemos a equação como
Logo, definimos
Calculamos as derivadas parciais:
que não são iguais, então a equação não é exata.
Passo 3
Observamos que e são homogêneas de grau 2 (cada termo tem grau total em igual a 2). Para equações homogêneas de primeira ordem, usamos a substituição
onde . Assim,
Passo 4
Substituímos e na forma diferencial:
Dividindo tudo por e organizando, obtemos
Passo 5
Agora separamos variáveis. Passamos o termo com para um lado e o com para o outro:
Dividindo ambos os lados por , resulta em
Passo 6
Para integrar o lado direito, fazemos frações parciais:
Logo,
Passo 7
Integramos ambos os lados:
Isso dá
Passo 8
Voltamos à variável original . Agrupando os logaritmos: