Use um fator integrante se preciso.
Encontre as soluções de
2 x y+(y^2-3 x^2) y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
2xy + (y^2 - 3x^2)y' = 0
ou seja, encontrar suas soluções gerais. O conteúdo aqui é equação diferencial de primeira ordem homogênea. Vamos precisar reescrevê-la na forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0, verificar exatidão e, por ser homogênea, usar a substituição y = vx.

Passo 2

Reescrevemos a equação como
2xy,dx + (y^2 - 3x^2),dy = 0
Logo, definimos
M(x,y) = 2xy,
N(x,y) = y^2 - 3x^2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2x,
partial Npartial x = -6x,
que não são iguais, então a equação não é exata.

Passo 3

Observamos que M e N são homogêneas de grau 2 (cada termo tem grau total em x,y igual a 2). Para equações homogêneas de primeira ordem, usamos a substituição
y = v x,
onde v = v(x). Assim,
dy = v,dx + x,dv

Passo 4

Substituímos y = vx e dy = v,dx + x,dv na forma diferencial:
2x(vx),dx + l((v x)^2 - 3x^2r)(v,dx + x,dv) = 0
Dividindo tudo por x^2 e organizando, obtemos
(v^3 - v),dx + x(v^2 - 3),dv = 0

Passo 5

Agora separamos variáveis. Passamos o termo com dx para um lado e o com dv para o outro:
(v^3 - v),dx = -x(v^2 - 3),dv
Dividindo ambos os lados por x,(v^3 - v), resulta em
dxx = -v^2 - 3v(v^2 - 1),dv

Passo 6

Para integrar o lado direito, fazemos frações parciais:
v^2 - 3v(v^2 - 1) = 3v - 1v - 1 - 1v + 1
Logo,
-v^2 - 3v(v^2 - 1) = -3v + 1v - 1 + 1v + 1

Passo 7

Integramos ambos os lados:
integral dxx = integral l(-3v + 1v - 1 + 1v + 1r) dv
Isso dá
ln|x| = -3ln|v| + ln|v - 1| + ln|v + 1| + C

Passo 8

Voltamos à variável original y = vx. Agrupando os logaritmos:
ln|x| + 3lnl|yxr| - lnl|yx - 1r| - lnl|yx + 1r| = C
Isso implica
ln x,(y/x)^3(y/x - 1)(y/x + 1) = C
e, ao simplificar,
y^3y^2 - x^2 = K,
com K = e^C constante.

Passo 9

Chegando à forma implícita da solução geral,
boxedy^3y^2 - x^2 = C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y^3/(y^2 - x^2) = C

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