Utilize as identidades trigonométricas já estabelecidas para provar as seguintes:
Passo 1
O enunciado pede pra provar que
pode ser escrito em termos de cossenos de ângulos duplos e quádruplos, usando identidades trigonométricas de ângulo duplo e redução de potência.
Passo 2
A gente começa lembrando que
é só
. Essa observação transforma o quarto poder num quadrado mais fácil de lidar.
Passo 3
Agora aplicamos a identidade de redução de potência pra
:
Logo,
$$
\sin4\theta=\Bigl(\frac{1-\cos2\theta}{2}\Bigr)2.$$
Passo 4
Vamos expandir esse quadrado:
Passo 5
Ainda temos um termo
. Voltamos à identidade de redução de potência, agora pro cosseno:
Passo 6
Substituindo
na expressão lá de cima obtemos:
o que é exatamente o que a gente queria mostrar.