Utilize as identidades trigonométricas já estabelecidas para provar as seguintes:
sin ^4 theta=14(1-2 cos 2 theta+12(1+cos 4 theta))

Passo 1

O enunciado pede pra provar que sin^4theta pode ser escrito em termos de cossenos de ângulos duplos e quádruplos, usando identidades trigonométricas de ângulo duplo e redução de potência.

Passo 2

A gente começa lembrando que sin^4theta é só (sin^2theta)^2. Essa observação transforma o quarto poder num quadrado mais fácil de lidar.

Passo 3

Agora aplicamos a identidade de redução de potência pra sin^2theta:
sin^2theta=1-cos2theta2
Logo,
$$
\sin4\theta=\Bigl(\frac{1-\cos2\theta}{2}\Bigr)2.$$

Passo 4

Vamos expandir esse quadrado:
sin^4theta=14l(1-2cos2theta+cos^2 2thetar)

Passo 5

Ainda temos um termo cos^2 2theta. Voltamos à identidade de redução de potência, agora pro cosseno:
cos^2 2theta=1+cos4theta2

Passo 6

Substituindo cos^2 2theta na expressão lá de cima obtemos:
sin^4theta=14l(1-2cos2theta+1+cos4theta2r),
o que é exatamente o que a gente queria mostrar.

Resposta

sin^4 theta=14l(1-2 cos 2 theta+tfrac12(1+cos 4 theta)r)

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