Resolva as equaçoes diferenciais:
3 e^x tg y d x+(1-e^x) sec ^2 y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a diferencial
3e^xtan y,dx+(1-e^x)sec^2y,dy=0
e pede sua solução geral. O conteúdo envolvido é manipular essa forma para obter uma equação de variáveis separáveis. Vamos reescrever em termos de dydx e depois separar x de y.

Passo 2

Isolamos dydx dividindo a equação original por (1-e^x)sec^2y. Assim,
dydx =-3e^xtan y(1-e^x)sec^2y =-3e^x,sin y/cos y(1-e^x),(1/cos^2y) =-3e^x,sin ycos y1-e^x
ou seja
dydx =3e^x,sin ycos y,e^x-1,

Passo 3

Agora separamos as variáveis levando todos os termos em y para o lado esquerdo e os de x para o lado direito:
dysin ycos y =3e^xe^x-1,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo usamos que
integraldysin ycos y =integralsec y,csc y,dy =lnl|tan yr|+C1,
e no direito fazemos a substituição u=e^x-1, du=e^xdx, obtendo
integral3e^xe^x-1,dx =3integralduu =3lnl|ur|+C2 =3lnl|e^x-1r|+C2

Passo 5

Igualando as duas integrais com uma constante geral C, temos
lnl|tan yr| =3lnl|e^x-1r|+C Longrightarrow ln!l(|tan y||e^x-1|^3r)=C
Exponenciando, absorvemos sinais e constantes em uma só constante K:
tan y = K,(e^x-1)^3,
que é a solução geral implícita.

Resposta

tan y = C,(e^x-1)^3,
onde C é constante de integração.

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