Resolva 5 das 6 questões
Determine se a sequência
é crescente, decrescente ou não monotônica. A sequência é limitada? ( 2,0 pontos)
Determine se a sequência
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por
. Precisamos descobrir se essa sequência está aumentando, diminuindo ou se não tem um comportamento consistente (não é monótona). Além disso, precisamos verificar se a sequência é limitada, ou seja, se existe um valor máximo e mínimo que ela não ultrapassa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências e seus comportamentos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar se a sequência está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos comparar o termo
com
.
Calculando
:
Agora, vamos ver a diferença entre
e
:
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum:
Observamos que o numerador é 1 e o denominador é sempre positivo para
. Portanto, a diferença
é positiva.
Passo 3
Como
para todo
, isso significa que cada termo da sequência é maior que o termo anterior. Portanto, a sequência está crescente.
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Observamos que:
À medida que
aumenta,
tende a 0, então
se aproxima de 1, mas nunca o ultrapassa. Além disso,
sempre será menor que 1 e maior que 0 para todo
.
Resposta
A sequência
é crescente e está limitada entre 0 e 1.