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Determine se a sequência an=nn+1 é crescente, decrescente ou não monotônica. A sequência é limitada? ( 2,0 pontos)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por an = nn+1 . Precisamos descobrir se essa sequência está aumentando, diminuindo ou se não tem um comportamento consistente (não é monótona). Além disso, precisamos verificar se a sequência é limitada, ou seja, se existe um valor máximo e mínimo que ela não ultrapassa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências e seus comportamentos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar se a sequência está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos comparar o termo an+1 com an .
Calculando an+1 :
an+1 = n+1(n+1)+1 = n+1n+2
Agora, vamos ver a diferença entre an+1 e an :
an+1 - an = n+1n+2 - nn+1
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum:
an+1 - an = (n+1)(n+1) - n(n+2)(n+2)(n+1) = n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n(n+2)(n+1) = 1(n+2)(n+1)
Observamos que o numerador é 1 e o denominador é sempre positivo para n >= 1 . Portanto, a diferença an+1 - an é positiva.

Passo 3

Como an+1 - an > 0 para todo n , isso significa que cada termo da sequência é maior que o termo anterior. Portanto, a sequência está crescente.
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Observamos que:
an = nn+1 = 1 - 1n+1
À medida que n aumenta, 1n+1 tende a 0, então an se aproxima de 1, mas nunca o ultrapassa. Além disso, an sempre será menor que 1 e maior que 0 para todo n .

Resposta

A sequência an = nn+1 é crescente e está limitada entre 0 e 1.

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