Resolva as equaçoes diferenciais:
x y y^prime=1-x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x,y,y' = 1 - x^2
que é de 1ª ordem e separável. Para resolver, vamos escrever y'=dydx, separar as variáveis y e x e integrar ambos os lados.

Passo 2

Escrevendo y'=dydx temos
x,y,dydx = 1 - x^2
e então separamos as variáveis: colocamos termos em y de um lado e termos em x do outro, obtendo
y,dy = 1 - x^2x,dx = l(1x - xr),dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y,dy = integrall(1x - xr),dx
No lado esquerdo
integral y,dy = y^22,
e no lado direito
integrall(1x - xr),dx = integral1x,dx - integral x,dx = lnlvert xrvert - x^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Igualando as duas primitivas:
y^22 = lnlvert xrvert - x^22 + C
Multiplicando tudo por 2 e renomeando a constante 2Cto C1, obtemos a solução geral em forma implícita:
y^2 = 2lnlvert xrvert - x^2 + C1

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y^2 + x^2 - 2lnlvert xrvert = C1,
onde C1 é uma constante arbitrária.

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