Resolva a equação.

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem, separável. O enunciado é resolver dxdt = tx e^t+2x. Vamos usar separação de variáveis e integração por partes.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por x e^t+2x e isolando os diferenciais. Observando que e^t+2x=e^t e^2x, obtemos
x e^t+2x,dx = t,dt
e reescrevendo
x e^2x,dx = t e^-t,dt .

Passo 3

Integre ambos os lados da equação separada:
integral x e^2x,dx = integral t e^-t,dt .

Passo 4

Calcule o lado esquerdo por integração por partes. Seja u=x e dv=e^2xdx, então du=dx e v=tfrace^2x2. Logo:
integral x e^2x,dx = x e^2x2 - integral e^2x2,dx = x e^2x2 - e^2x4 + C1 .

Passo 5

Calcule o lado direito por partes. Seja u=t e dv=e^-tdt, então du=dt e v=-e^-t. Assim:
integral t e^-t,dt = -t e^-t + integral e^-t,dt = -t e^-t - e^-t + C2 = -(t+1)e^-t + C2 .

Passo 6

Igualando as duas integrais e absorvendo as constantes em C, temos
x e^2x2 - e^2x4 = -(t+1)e^-t + C
Multiplicando por 4 para simplificar:
e^2x(2x-1) = -4(t+1)e^-t + C' .

Passo 7

Reescrevendo de forma usual, a solução geral implícita fica:
e^2x(2x-1) + 4(t+1)e^-t = C .

Resposta

A solução geral implícita é
e^2x(2x-1) + 4(t+1)e^-t = C

Exercícios relacionados