7 Resolva a equação 2+5+8+\ldots+\mathrm{x}=77, sabendo que os termos do primeiro membro estão em P.A.

Passo 1

O enunciado pede para resolver
2 + 5 + 8 + \ldots + x = 77
sabendo que os termos formam uma progressão aritmética (P.A.). Vamos usar a definição de P.A. (termo inicial, razão e termo geral) e a fórmula da soma dos n primeiros termos.

Passo 2

Chamando de a_1 o primeiro termo e de d a razão, temos
a_1 = 2, \quad d = 5 - 2 = 3.
O n-ésimo termo a_n é dado por
a_n = a_1 + (n-1)\,d.
Como o último termo é x, escrevemos
x = 2 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 1.

Passo 3

A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é
S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n).
Aqui S_n = 77 e a_n = x. Substituindo a_1=2 e x=3n-1, obtemos
77 = \frac{n}{2}\bigl(2 + (3n - 1)\bigr) = \frac{n}{2}(3n + 1).
Multiplicando ambos os lados por 2,
154 = n(3n + 1) \;\Longrightarrow\; 3n^2 + n - 154 = 0.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática
3n^2 + n - 154 = 0,
o discriminante é
\Delta = 1^2 - 4\cdot 3 \cdot (-154) = 1 + 1848 = 1849 = 43^2.
Portanto
n = \frac{-1 \pm 43}{2\cdot 3}
e a única solução inteira positiva é
n = \frac{-1 + 43}{6} = 7.

Passo 5

Com n = 7, o último termo é
x = 3n - 1 = 3\cdot 7 - 1 = 21 - 1 = 20.

Resposta

\displaystyle x = 20

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