Resolva a equação z^2-6 z+i(z-6)+10=0, z in C.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
z^2-6z+i(z-6)+10=0, zinC,
ou seja, um polinômio quadrático com coeficientes complexos. Vamos usar a fórmula de Bhaskara generalizada para números complexos.

Passo 2

Primeiro reescrevemos em forma padrão az^2+bz+c=0. Desenvolvendo i(z-6)=iz-6i e somando, temos
z^2+(-6+i)z+(10-6i)=0
Logo a=1, b=-6+i e c=10-6i.

Passo 3

Aplicando a fórmula quadrática
z=-bpmraizb^2-4ac2a =6-ipmraizDe<a2,
onde o discriminante é De<a=b^2-4ac.

Passo 4

Calculamos
b^2=(-6+i)^2=36-12i-1=35-12i,
4ac=4cdot1cdot(10-6i)=40-24i,
De<a=(35-12i)-(40-24i)=-5+12i

Passo 5

Para achar raizDe<a=raiz-5+12i, procuramos a+bi tal que
(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=-5+12i
Isto dá o sistema
a^2-b^2=-5, 2ab=12implies ab=6
Daí b=6/a e
a^2-36a^2=-5implies a^4+5a^2-36=0implies a^2=4 (descartamos a^2=-9)
Logo a=pm2 e b=6/a dá as raízes pm(2+3i). Podemos tomar
raizDe<a=2+3iou -2-3i

Passo 6

Substituindo na fórmula:
z1=6-i+(2+3i)2=8+2i2=4+i,
z2=6-i-(2+3i)2=4-4i2=2-2i

Resposta

As soluções da equação são
z=4+i e z=2-2i

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