Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me enviou:
Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma equação diferencial exata ou não. Para resolver isso, precisamos verificar algumas condições e, se necessário, aplicar técnicas para torná-la exata. Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e integrais.
Passo 2
Vamos começar identificando as funções que multiplicam $ dx $ e $ dy $. Chamaremos de:
Para uma equação ser exata, a condição é que a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ seja igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $:
Agora, a derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $:
Percebemos que:
Isso significa que a equação diferencial é exata. Portanto, podemos prosseguir para encontrar a solução geral.
Passo 4
Para resolver uma equação diferencial exata, precisamos encontrar uma função $ F(x, y) $ tal que:
Vamos integrar $ M(x, y) $ em relação a $ x $ para encontrar $ F(x, y) $:
Integrando termo a termo:
Aqui, $ h(y) $ é uma função arbitrária de $ y $, pois a constante de integração pode depender de $ y $. Agora, vamos derivar $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ N(x, y) $:
Comparando os termos:
Observamos que os termos com $ x $ já estão iguais, então:
Integrando em relação a $ y $:
Agora, substituímos $ h(y) $ em $ F(x, y) $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde $ C $ é a constante de integração.