Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
(1-2 x y+3 x^2 y^2) d x-(x^2+3 y^2-
2 x^3 y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me enviou:
(1 - 2xy + 3x^2y^2) dx - (x^2 + 3y^2 - 2x^3y) dy = 0
Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma equação diferencial exata ou não. Para resolver isso, precisamos verificar algumas condições e, se necessário, aplicar técnicas para torná-la exata. Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e integrais.

Passo 2

Vamos começar identificando as funções que multiplicam $ dx $ e $ dy $. Chamaremos de:
dx
dy
Para uma equação ser exata, a condição é que a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ seja igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $:
M
Agora, a derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $:
y
Percebemos que:
partial Mpartial y = partialpartial y(1 - 2xy + 3x^2y^2) = -2x + 6x^2y
Isso significa que a equação diferencial é exata. Portanto, podemos prosseguir para encontrar a solução geral.

Passo 4

Para resolver uma equação diferencial exata, precisamos encontrar uma função $ F(x, y) $ tal que:
F(x, y)
Vamos integrar $ M(x, y) $ em relação a $ x $ para encontrar $ F(x, y) $:
partial Fpartial x = M(x, y) e partial Fpartial y = N(x, y)
Integrando termo a termo:
M(x, y)
Aqui, $ h(y) $ é uma função arbitrária de $ y $, pois a constante de integração pode depender de $ y $. Agora, vamos derivar $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ N(x, y) $:
x
Comparando os termos:
F(x, y)
Observamos que os termos com $ x $ já estão iguais, então:
F(x, y) = integral M(x, y) , dx = integral (1 - 2xy + 3x^2y^2) dx
Integrando em relação a $ y $:
F(x, y) = integral 1 , dx - integral 2xy , dx + integral 3x^2y^2 , dx = x - x^2y + x^3y^2 + h(y)
Agora, substituímos $ h(y) $ em $ F(x, y) $:
h(y)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
x - x^2y + x^3y^2 - y^3 = C
Onde $ C $ é a constante de integração.

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