Seja n pertencente aos números inteiros. O conjunto ( n \cdot \mathbb{Z},+, \cdot ), onde n \cdot \mathbb{Z}=\{n \cdot a \mid a pertence a \mathbb{Z}\}, é um anel com as operações usuais de soma e produto dos números inteiros.

Passo 1

O enunciado dá um inteiro \,n\in\mathbb{Z}\, e o conjunto
n\cdot\mathbb{Z}=\{\,n\cdot a \mid a\in\mathbb{Z}\,\}
com as operações usuais de soma e produto dos inteiros. O que se pede é verificar que (\,n\cdot\mathbb{Z},+,\cdot\,) é um anel. Para isso vamos checar, passo a passo, as propriedades que normalmente se exigem de um anel:
  1. (\,n\cdot\mathbb{Z},+) é um grupo abeliano (fechamento, associatividade, elemento neutro aditivo, inversos aditivos, comutatividade);
  2. o produto está bem definido em \,n\cdot\mathbb{Z} e é associativo;
  3. o produto distribui em relação à soma (as duas leis distributivas).
    Observação: algumas definições de anel exigem também um elemento neutro multiplicativo; iremos comentar esse ponto quando for pertinente.

Passo 2

Fechamento da soma. Tome quaisquer elementos \,n\cdot a e \,n\cdot b em \,n\cdot\mathbb{Z} (com \,a,b\in\mathbb{Z}). A soma deles é
n\cdot a + n\cdot b = n\cdot(a+b).
Como \,a+b\in\mathbb{Z}, segue que n\cdot(a+b)\in n\cdot\mathbb{Z}. Portanto a soma de dois elementos de n\cdot\mathbb{Z} permanece em n\cdot\mathbb{Z}: fechou.

Passo 3

Associatividade e comutatividade da soma. A operação de soma em n\cdot\mathbb{Z} é a mesma soma inteira, logo herda associatividade e comutatividade da soma em \mathbb{Z}. Ou seja, para quaisquer \,x,y,z\in n\cdot\mathbb{Z} vale
(x+y)+z = x+(y+z) \quad\text{e}\quad x+y = y+x.
Não precisamos recalcular; usamos que \mathbb{Z} já tem essas propriedades.

Passo 4

Elemento neutro aditivo. O neutro aditivo em \mathbb{Z} é 0. Note que
0 = n\cdot 0,
e como 0\in\mathbb{Z} temos 0\in n\cdot\mathbb{Z}. Para qualquer n\cdot a\in n\cdot\mathbb{Z},
n\cdot a + 0 = n\cdot a,
então 0 é o elemento neutro aditivo em n\cdot\mathbb{Z}.

Passo 5

Inversos aditivos. Para um elemento arbitrário n\cdot a\in n\cdot\mathbb{Z}, seu inverso aditivo em \mathbb{Z} é -n\cdot a. Observamos que
- n\cdot a = n\cdot(-a),
e como -a\in\mathbb{Z} segue que -n\cdot a\in n\cdot\mathbb{Z}. Assim todo elemento tem inverso aditivo dentro do conjunto.

Passo 6

Conclusão parcial sobre a adição. Pelos passos anteriores, (\,n\cdot\mathbb{Z},+) é um grupo abeliano. Isso resolve a parte aditiva do anel.

Passo 7

Fechamento do produto. Tome n\cdot a e n\cdot b em n\cdot\mathbb{Z}. O produto deles é
(n\cdot a)(n\cdot b) = n^2\cdot (a b).
Escrevemos n^2\cdot(ab)=n\cdot\big(n(ab)\big). Como n(ab)\in\mathbb{Z}, segue que (n\cdot a)(n\cdot b) é da forma n\cdot(\text{inteiro}), logo pertence a n\cdot\mathbb{Z}. Portanto o produto fecha no conjunto.

Passo 8

Associatividade do produto. O produto em n\cdot\mathbb{Z} é o mesmo produto inteiro, portanto é associativo porque o produto em \mathbb{Z} é associativo. Ou seja, para quaisquer x,y,z\in n\cdot\mathbb{Z} temos
(xy)z = x(yz).

Passo 9

Leis distributivas. Para x=n\cdot a,\;y=n\cdot b,\;z=n\cdot c em n\cdot\mathbb{Z} verificamos diretamente uma das leis (a outra é análoga):
x(y+z) = (n\cdot a)\big(n\cdot b + n\cdot c\big) = (n\cdot a)\big(n\cdot(b+c)\big) = n^2\cdot a(b+c).
Do outro lado,
xy + xz = (n\cdot a)(n\cdot b) + (n\cdot a)(n\cdot c) = n^2\cdot(ab) + n^2\cdot(ac) = n^2\cdot\big(ab+ac\big).
Como a(b+c)=ab+ac em \mathbb{Z}, os dois lados coincidem. Assim o produto distribui sobre a soma.

Passo 10

Questão do elemento neutro multiplicativo (quando interessa). Se a definição de anel que você usa exige um elemento 1 com 1\cdot x=x para todo x, pergunte-se se 1\in n\cdot\mathbb{Z}. Temos 1=n\cdot k para algum k\in\mathbb{Z} só se existir k com k=1/n inteiro, isto é, só se n=\pm1. Portanto:
  • Se |n|=1 (isto é, n=1 ou n=-1), então n\cdot\mathbb{Z}=\mathbb{Z} e existe neutro multiplicativo ( 1 em \mathbb{Z}).
  • Se |n|\ne1, então 1\notin n\cdot\mathbb{Z} e n\cdot\mathbb{Z} não tem unidade multiplicativa. Muitas definições de anel aceitam anéis sem unidade, então isso não impede n\cdot\mathbb{Z} de ser um anel; caso sua definição exija unidade, apenas n=\pm1 satisfaz.

Passo 11

Comentário útil (intuição e exemplo). Para fixar a ideia: se n=2 então 2\mathbb{Z} é o conjunto dos inteiros pares. Verificamos: soma de pares é par (fechamento), inverso de um par é par, produto de dois pares é par (na verdade múltiplo de 4, mas continua sendo par), e as leis distributivas e associativas vêm da aritmética usual. Assim 2\mathbb{Z} é de fato um anel (sem unidade multiplicativa). Isso ilustra o que provamos, de forma concreta.

Passo 12

Conclusão geral. Reunindo tudo: (\,n\cdot\mathbb{Z},+,\cdot\,) satisfaz as propriedades exigidas para ser um anel (comunidade aditiva em grupo abeliano, produto fechado e associativo, distributividade). A única ressalva é sobre a existência de unidade multiplicativa, que ocorre somente quando n=\pm1.

Resposta

Sim: para todo \,n\in\mathbb{Z}, (\,n\cdot\mathbb{Z},+,\cdot\,) é um anel (subanel de \mathbb{Z}).
Se a definição de anel exigir unidade multiplicativa, então isso acontece apenas quando n=\pm1 (caso contrário não há unidade).

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