Seja
pertencente aos números inteiros. O conjunto (
), onde
a pertence a
, é um anel com as operações usuais de soma e produto dos números inteiros.
Passo 1
O enunciado dá um inteiro
e o conjunto
com as operações usuais de soma e produto dos inteiros. O que se pede é verificar que
é um anel. Para isso vamos checar, passo a passo, as propriedades que normalmente se exigem de um anel:
-
é um grupo abeliano (fechamento, associatividade, elemento neutro aditivo, inversos aditivos, comutatividade); - o produto está bem definido em
e é associativo; - o produto distribui em relação à soma (as duas leis distributivas).
Observação: algumas definições de anel exigem também um elemento neutro multiplicativo; iremos comentar esse ponto quando for pertinente.
Passo 2
Fechamento da soma. Tome quaisquer elementos
e
em
(com
). A soma deles é
Como
, segue que
. Portanto a soma de dois elementos de
permanece em
: fechou.
Passo 3
Associatividade e comutatividade da soma. A operação de soma em
é a mesma soma inteira, logo herda associatividade e comutatividade da soma em
. Ou seja, para quaisquer
vale
Não precisamos recalcular; usamos que
já tem essas propriedades.
Passo 4
Elemento neutro aditivo. O neutro aditivo em
é
. Note que
e como
temos
. Para qualquer
,
então
é o elemento neutro aditivo em
.
Passo 5
Inversos aditivos. Para um elemento arbitrário
, seu inverso aditivo em
é
. Observamos que
e como
segue que
. Assim todo elemento tem inverso aditivo dentro do conjunto.
Passo 6
Conclusão parcial sobre a adição. Pelos passos anteriores,
é um grupo abeliano. Isso resolve a parte aditiva do anel.
Passo 7
Fechamento do produto. Tome
e
em
. O produto deles é
Escrevemos
. Como
, segue que
é da forma
, logo pertence a
. Portanto o produto fecha no conjunto.
Passo 8
Associatividade do produto. O produto em
é o mesmo produto inteiro, portanto é associativo porque o produto em
é associativo. Ou seja, para quaisquer
temos
Passo 9
Leis distributivas. Para
em
verificamos diretamente uma das leis (a outra é análoga):
Do outro lado,
Como
em
, os dois lados coincidem. Assim o produto distribui sobre a soma.
Passo 10
Questão do elemento neutro multiplicativo (quando interessa). Se a definição de anel que você usa exige um elemento
com
para todo
, pergunte-se se
. Temos
para algum
só se existir
com
inteiro, isto é, só se
. Portanto:
- Se
(isto é, ou ), então e existe neutro multiplicativo ( em ). - Se
, então e não tem unidade multiplicativa. Muitas definições de anel aceitam anéis sem unidade, então isso não impede de ser um anel; caso sua definição exija unidade, apenas satisfaz.
Passo 11
Comentário útil (intuição e exemplo). Para fixar a ideia: se
então
é o conjunto dos inteiros pares. Verificamos: soma de pares é par (fechamento), inverso de um par é par, produto de dois pares é par (na verdade múltiplo de
, mas continua sendo par), e as leis distributivas e associativas vêm da aritmética usual. Assim
é de fato um anel (sem unidade multiplicativa). Isso ilustra o que provamos, de forma concreta.
Passo 12
Conclusão geral. Reunindo tudo:
satisfaz as propriedades exigidas para ser um anel (comunidade aditiva em grupo abeliano, produto fechado e associativo, distributividade). A única ressalva é sobre a existência de unidade multiplicativa, que ocorre somente quando
.
Resposta
Sim: para todo
,
é um anel (subanel de
).
Se a definição de anel exigir unidade multiplicativa, então isso acontece apenas quando (caso contrário não há unidade).
Se a definição de anel exigir unidade multiplicativa, então isso acontece apenas quando