Resolva a equação do calor sujeita às condições indicadas.
Passo 1
Estamos resolvendo a equação do calor unidimensional
Conteúdo: separação de variáveis e série de Fourier senoidal
Vamos usar a técnica de expansão da condição inicial em auto-funções senoidais que satisfazem as condições de contorno.
Conteúdo: separação de variáveis e série de Fourier senoidal
Vamos usar a técnica de expansão da condição inicial em auto-funções senoidais que satisfazem as condições de contorno.
Passo 2
Procuramos soluções da forma separável
. Substituindo na equação
e dividindo por
obtemos
com constante de separação
Passo 3
Da parte espacial temos o problema de Sturm–Liouville
As soluções não-triviais ocorrem para
Passo 4
Da parte temporal obtemos
cuja solução é
Passo 5
A solução geral é
$$u(x,t)=\sum_{n=1}{\infty}B_n,e{-\alpha2(n\pi/L)2t}\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr).
$$
Precisamos determinar os coeficientes pela condição inicial.
Precisamos determinar os coeficientes
Passo 6
Usando
e a ortogonalidade das senos, temos
Calculando a integral,
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Resposta
A solução para
é