Resolva a equação do calor sujeita às condições indicadas.
alpha^2 partial^2 upartial x^2=partial upartial t, 0 <= x <= L, u(0, t)=u(L, t)=0, u(x, 0)= 1, & 0 <= x

Passo 1

Estamos resolvendo a equação do calor unidimensional
Conteúdo: separação de variáveis e série de Fourier senoidal
Vamos usar a técnica de expansão da condição inicial em auto-funções senoidais que satisfazem as condições de contorno.

Passo 2

Procuramos soluções da forma separável u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo na equação alpha^2 X''(x)T(t)=X(x)T'(t) e dividindo por X(x)T(t) obtemos
X''(x)X(x)=1alpha^2T'(t)T(t)=-lambda
com constante de separação lambda>0 para ter decaimento em t.

Passo 3

Da parte espacial temos o problema de Sturm–Liouville
X''(x)+lambda X(x)=0, X(0)=0,;X(L)=0
As soluções não-triviais ocorrem para lambdan=(npi/L)^2, com modos
Xn(x)=sinl(tfracnpi xLr), n=1,2,3,dots

Passo 4

Da parte temporal obtemos
Tn'(t)+alpha^2lambdanTn(t)=0
cuja solução é
Tn(t)=expl(-alpha^2(npi/L)^2tr)

Passo 5

A solução geral é
$$u(x,t)=\sum_{n=1}{\infty}B_n,e{-\alpha2(n\pi/L)2t}\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr).
$$
Precisamos determinar os coeficientes u(x,t)=sumn=1^inftyBn,e^-alpha^2(npi/L)^2tsinl(tfracnpi xLr) pela condição inicial.

Passo 6

Usando
u(x,0)=f(x)=1,&0<= x
e a ortogonalidade das senos, temos
Bn=2Lintegral0^L f(x)sinl(tfracnpi xLr)dx=2Lintegral0^L/2sinl(tfracnpi xLr)dx
Calculando a integral,
integral0^L/2sinl(tfracnpi xLr)dx=Lnpil[1-cosl(tfracnpi2r)r],
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Bn=2LcdotLnpil[1-cosl(tfracnpi2r)r]=2npil[1-cosl(tfracnpi2r)r]

Resposta

A solução para u(x,t) é
u(x,t)=sumn=1^infty2npil[1-cosl(tfracnpi2r)r],e^-alpha^2(npi/L)^2tsinl(tfracnpi xLr)

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