Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2, x^2+y^4+z^4=1.

Passo 1

A questão pede os extremos de f(x,y,z)=x{2}+y{2}+z^{2} com a restrição x{2}+y{4}+z^{4}=1 usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo é otimização com restrição e vamos precisar montar as equações ∇f=λ∇g, onde g(x,y,z)=x{2}+y{4}+z^{4}-1.

Passo 2

Calculemos os gradientes:
nabla f=(2x,,2y,,2z), nabla g=(2x,,4y^3,,4z^3)

Passo 3

As equações de Lagrange são
2x=lambda,2x, 2y=lambda,4y^3, 2z=lambda,4z^3, x^2+y^4+z^4=1

Passo 4

Da primeira equação temos ou x=0 ou lambda=1. Das outras, ou y=0 ou lambda=1/(2y^2), e similar para z.

Passo 5

Caso 1: lambda=1 (portanto x≠0). Então de 2y=4y^{3} sai y=0 ou y^{2}=1/2; e de 2z=4z^{3} sai z=0 ou z^{2}=1/2. Usando a restrição, testamos:
  • y=0,z=0 ⇒ x^{2}=1 ⇒ f=1.
  • y=0,z^{2}=1/2 ⇒ x^{2}=3/4 ⇒ f=3/4+0+1/2=5/4.
  • y^{2}=1/2,z=0 ⇒ igual ao anterior, f=5/4.
  • y{2}=1/2,z{2}=1/2 ⇒ x^{2}=1/2 ⇒ f=1/2+1/2+1/2=3/2.

Passo 6

Caso 2: x=0. Se y=0 ou z=0, fica f=1 a partir de y{4}+z{4}=1. Se y,z≠0, igualamos 1/(2y^2)=1/(2z^2) ⇒ y{2}=z{2} e da restrição y{4}+z{4}=1 vem y{2}=z{2}=1/\sqrt{2}, então f=2/\sqrt2=\sqrt2.

Passo 7

Comparando os valores críticos f∈{1,5/4,\sqrt2,3/2}, o mínimo é 1 e o máximo é 3/2.

Resposta

f_{\min}=1\quad e\quad f_{\max}=\tfrac{3}{2}.

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