Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
.
Passo 1
A questão pede os extremos de f(x,y,z)=x{2}+y{2}+z^{2} com a restrição x{2}+y{4}+z^{4}=1 usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo é otimização com restrição e vamos precisar montar as equações ∇f=λ∇g, onde g(x,y,z)=x{2}+y{4}+z^{4}-1.
Passo 2
Calculemos os gradientes:
Passo 3
As equações de Lagrange são
Passo 4
Da primeira equação temos ou x=0 ou
. Das outras, ou y=0 ou
, e similar para z.
Passo 5
Caso 1:
(portanto x≠0). Então de 2y=4y^{3} sai y=0 ou y^{2}=1/2; e de 2z=4z^{3} sai z=0 ou z^{2}=1/2. Usando a restrição, testamos:
- y=0,z=0 ⇒ x^{2}=1 ⇒ f=1.
- y=0,z^{2}=1/2 ⇒ x^{2}=3/4 ⇒ f=3/4+0+1/2=5/4.
- y^{2}=1/2,z=0 ⇒ igual ao anterior, f=5/4.
- y{2}=1/2,z{2}=1/2 ⇒ x^{2}=1/2 ⇒ f=1/2+1/2+1/2=3/2.
Passo 6
Caso 2: x=0. Se y=0 ou z=0, fica f=1 a partir de y{4}+z{4}=1. Se y,z≠0, igualamos
⇒ y{2}=z{2} e da restrição y{4}+z{4}=1 vem y{2}=z{2}=1/\sqrt{2}, então f=2/\sqrt2=\sqrt2.
Passo 7
Comparando os valores críticos f∈{1,5/4,\sqrt2,3/2}, o mínimo é 1 e o máximo é 3/2.
Resposta
f_{\min}=1\quad e\quad f_{\max}=\tfrac{3}{2}.