É verdadeiro ou falso?
Se u(x, t)=e^-lambda^2 alpha^2 t(C1 cos (lambda x)+C1 sen(lambda x)), então alpha^2 partial^2 upartial x^2=partial upartial t.

Passo 1

O enunciado dá a função
u(x,t)=e^-lambda^2alpha^2tl(C1cos(lambda x)+C1sin(lambda x)r)
e pede para verificar se ela satisfaz a equação
alpha^2partial^2upartial x^2=partial upartial t
O conteúdo aqui é o cálculo de derivadas parciais de u em relação a t e a x.

Passo 2

Calcular partial upartial t.
Como só o fator e^-lambda^2alpha^2t depende de t, temos
partial upartial t =ddtl(e^-lambda^2alpha^2tr)l(C1cos(lambda x)+C1sin(lambda x)r) =-lambda^2alpha^2,e^-lambda^2alpha^2tl(C1cos(lambda x)+C1sin(lambda x)r)

Passo 3

Calcular partial^2upartial x^2.
Diferenciando duas vezes em x, e lembrando que
d^2dx^2cos(lambda x)=-lambda^2cos(lambda x)
e
d^2dx^2sin(lambda x)=-lambda^2sin(lambda x), obtemos
partial^2upartial x^2 =e^-lambda^2alpha^2tl(-lambda^2C1cos(lambda x)-lambda^2C1sin(lambda x)r) =-lambda^2,e^-lambda^2alpha^2tl(C1cos(lambda x)+C1sin(lambda x)r)

Passo 4

Multiplicando por alpha^2 e comparando com partial upartial t,
alpha^2partial^2upartial x^2 =-lambda^2alpha^2,e^-lambda^2alpha^2tl(C1cos(lambda x)+C1sin(lambda x)r) =partial upartial t
Logo a igualdade pedida é satisfeita.

Resposta

Verdadeiro.

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