Resolva a equação do calor sujeita às condições indicadas:
Resp.:
Resp.:
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação do calor
para
e
, sujeita às condições de contorno homogêneas
e à condição inicial
O método a usar é separação de variáveis, levando a uma expansão em série de senos (série de Fourier tipo seno).
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
Substituindo na PDE e dividindo por
obtemos
O problema de autovalores em
com
dá as soluções
e a parte temporal
Passo 3
A solução geral é combinação linear:
Para satisfazer
precisamos de
Pela ortogonalidade dos senos,
Passo 4
Calculamos
por partes. Seja
,
.
Então e
.
O termo de fronteira anula, sobrando
Então
O termo de fronteira anula, sobrando
Separando e usando outra integração por partes em
, encontra-se
Logo
Passo 5
Substituindo
na expansão geral, obtemos