Resolva a equação do calor sujeita às condições indicadas:
\quad u(0, t)=0, \quad u(L, t)=0
u(x, 0)=x(L-x)
Resp.: \quad u(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 L^{2}}{n^{3} \pi^{3}}\left(1-(-1)^{n}\right) e^{-k\left(\frac{n^{2} \pi^{2}}{L^{2}}\right) t} \sin \frac{n \pi x}{L}

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação do calor
u_{t}(x,t)=k\,u_{xx}(x,t),
para 0<x<L e t>0, sujeita às condições de contorno homogêneas
u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0
e à condição inicial
u(x,0)=x\bigl(L-x\bigr).
O método a usar é separação de variáveis, levando a uma expansão em série de senos (série de Fourier tipo seno).

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na PDE e dividindo por kXT obtemos
\frac{T'}{kT}=\frac{X''}{X}=-\lambda.
O problema de autovalores em X com X(0)=X(L)=0 dá as soluções
X_{n}(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),\quad \lambda_{n}=\bigl(\tfrac{n\pi}{L}\bigr)^{2},\quad n=1,2,\dots
e a parte temporal
T_{n}(t)=\exp\!\bigl(-k\lambda_{n}\,t\bigr) =\exp\!\bigl(-k\tfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\bigr).

Passo 3

A solução geral é combinação linear:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\exp\!\bigl(-k\tfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\bigr)\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr).
Para satisfazer u(x,0)=x(L-x) precisamos de
x(L-x)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr).
Pela ortogonalidade dos senos,
B_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}x(L-x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos
I=\int_{0}^{L}x(L-x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx
por partes. Seja f=x(L-x), g'=\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr).
Então f'=L-2x e g=-\tfrac{L}{n\pi}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr).
O termo de fronteira anula, sobrando
I=\frac{L}{n\pi}\int_{0}^{L}(L-2x)\,\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.
Separando e usando outra integração por partes em \int x\cos(\dots)\,dx, encontra-se
I=\frac{2L^{3}}{n^{3}\pi^{3}}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr).
Logo
B_{n}=\frac{2}{L}\,I =\frac{4L^{2}}{n^{3}\pi^{3}}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr).

Passo 5

Substituindo B_{n} na expansão geral, obtemos
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4L^{2}}{n^{3}\pi^{3}}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr) \exp\!\Bigl(-k\tfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\Bigr) \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr).

Resposta

u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4L^{2}}{n^{3}\pi^{3}}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr) e^{-k\left(\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\right)t} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right).

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