(a) Resolva a equação diferencial
raiz1+x^2 d yd x=x(y-1)^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
raiz1+x^2;dydx=x,(y-1)^3
Este é um caso de equação separável, onde podemos colocar todos os termos em y de um lado e os termos em x do outro.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
dy(y-1)^3 =xraiz1+x^2,dx

Passo 3

Integre ambos os lados. No lado esquerdo, use
integral (y-1)^-3,dy =integral (y-1)^-3,d(y-1) =-tfrac12,(y-1)^-2
No lado direito, faça a substituição u=1+x^2, du=2x,dx:
integral xraiz1+x^2,dx =tfrac12integral u^-1/2,du =raizu =raiz1+x^2
Então a integração dá
-tfrac12,(y-1)^-2 =raiz1+x^2+C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 4

Multiplique por -2 e chame -2C1=C para obter uma forma mais simples:
(y-1)^-2=C-2raiz1+x^2
Invertendo ambos os lados, chega-se a
(y-1)^2=1,C-2raiz1+x^2,
Por fim, extraindo a raiz quadrada, a solução geral fica
y-1=pm1raiz,C-2raiz1+x^2,

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x)=1pm1raiz,C-2raiz1+x^2,,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados