(a) Resolva a equação diferencial
. Faça um esboço da família das soluções.
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo:
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede (a) a família geral de soluções, um esboço qualitativo e, em seguida, a solução que satisfaz a condição inicial
, indicando também o intervalo máximo de definição.
Passo 2
Trata-se de uma equação diferencial separável. Escrevemos
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração.
Passo 3
Isolando
obtemos a família geral não trivial:
onde definimos
. Além disso, há a solução trivial
que também satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
Esboço qualitativo da família de soluções
:
Para as curvas são negativas e têm dois ramos assimptóticos a zero quando
, com um mínimo em
.
Para surgem dois ramos de curvas positivas, igualmente tendendo a zero em
, com um máximo em
.
A reta é a solução trivial.
Para
Para
A reta
Passo 5
Impondo a condição inicial
:
- Se tentarmos usar a forma não trivial, teríamos
,
o que não tem solução finita para. - Logo, a única compatível é a solução trivial
.
Passo 6
A solução
é definida para todo
, pois não apresenta singularidades.
Resposta
A solução que satisfaz
é
com intervalo máximo de definição
.