(a) Resolva a equação diferencial y^prime=x^3 y^2. Faça um esboço da família das soluções.
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo:
y(-2)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = x^3,y^2
e pede (a) a família geral de soluções, um esboço qualitativo e, em seguida, a solução que satisfaz a condição inicial y(-2)=0, indicando também o intervalo máximo de definição.

Passo 2

Trata-se de uma equação diferencial separável. Escrevemos
dydx = x^3,y^2 Longrightarrow dyy^2 = x^3,dx
Integramos ambos os lados:
integral y^-2,dy = integral x^3,dx Longrightarrow -,1y = x^44 + K,
onde K é constante de integração.

Passo 3

Isolando y obtemos a família geral não trivial:
1y = -x^44 - K Longrightarrow y(x) = -4,x^4 + C,,
onde definimos C=4K. Além disso, há a solução trivial
y(x)equiv 0,
que também satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Esboço qualitativo da família de soluções y(x)=-4/(x^4+C):
Para C>0 as curvas são negativas e têm dois ramos assimptóticos a zero quando |x|toinfty, com um mínimo em x=0.
Para C<0 surgem dois ramos de curvas positivas, igualmente tendendo a zero em |x|toinfty, com um máximo em x=0.
A reta y=0 é a solução trivial.

Passo 5

Impondo a condição inicial y(-2)=0:
  • Se tentarmos usar a forma não trivial, teríamos
    -4/((-2)^4 + C)=0,
    o que não tem solução finita para C.
  • Logo, a única compatível é a solução trivial
    y(x)equiv 0.

Passo 6

A solução y(x)equiv 0 é definida para todo xinR, pois não apresenta singularidades.

Resposta

A solução que satisfaz y(-2)=0 é
y(x) = 0,
com intervalo máximo de definição (-infty,infty).

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