(a) Resolva a equação diferencial y^prime=x^3 y^2. Faça um esboço da família das soluções.
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo:
y(1)=-1

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
y' = x^3y^2
usando separação de variáveis e, em seguida, fazer um esboço da família de soluções. Para isso, aplicaremos o método de variáveis separáveis.

Passo 2

Separe as variáveis e integre:
dyy^2 = x^3,dx
integral dyy^2 = integral x^3,dx
-,1y = x^44 + C
onde C é a constante de integração. Isolando y, obtemos a solução geral
y(x) = -1dfracx^44 + C = -4,x^4 + C',
com C' = 4C.

Passo 3

Esboço qualitativo da família
y(x) = -4x^4 + C'
  • Se C'>0, o denominador é sempre positivo e y<0 para todo x, curvas suaves em R.
  • Se C'=0, y=-4/x^4, há singularidade em x=0, duas ramificações simétricas.
  • Se C'<0, existem valores de x tais que x^4=-C', gerando assíntotas verticais e soluções definidas em intervalos limitados.

Passo 4

Aplique a condição inicial y(1)=-1:
-1 = -41^4 + C' Longrightarrow 1 = 41 + C' Longrightarrow 1 + C' = 4 Longrightarrow C' = 3

Passo 5

Substituindo C'=3 na solução geral, fica
y(x) = -4x^4 + 3
Como x^4+3>0 para todo x, o intervalo máximo de definição é
xin(-infty,infty)

Resposta

y(x) = -4x^4 + 3, xin(-infty,infty)

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