(a) Resolva a equação diferencial
. Faça um esboço da família das soluções.
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo:
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial
usando separação de variáveis e, em seguida, fazer um esboço da família de soluções. Para isso, aplicaremos o método de variáveis separáveis.
Passo 2
Separe as variáveis e integre:
onde
é a constante de integração. Isolando
, obtemos a solução geral
com
.
Passo 3
Esboço qualitativo da família
- Se
, o denominador é sempre positivo e para todo , curvas suaves em . - Se
, , há singularidade em , duas ramificações simétricas. - Se
, existem valores de tais que , gerando assíntotas verticais e soluções definidas em intervalos limitados.
Passo 4
Aplique a condição inicial
:
Passo 5
Substituindo
na solução geral, fica
Como
para todo
, o intervalo máximo de definição é