Resolva o problema de valor inicial
2 y^prime+t y=2, y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
2,y'(t)+t,y(t)=2, y(0)=1
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea. Vamos resolver usando o fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão y'+p(t),y=q(t). Dividindo a equação original por 2 temos
y'(t)+t2,y(t)=1

Passo 3

O fator integrante é
mu(t)=expl(integral t2,dtr) =expl(t^24r)
Multiplicando a equação padrão por mu(t) obtemos
exp!l(tfract^24r),y'(t) +t2exp!l(tfract^24r),y(t) =exp!l(tfract^24r)
O lado esquerdo é a derivada de y(t),exp(t^2/4), logo
ddtl[y(t),exp!l(tfract^24r)r] =exp!l(tfract^24r)
Integrando ambos os lados:
y(t),exp!l(tfract^24r) =integral exp!l(tfract^24r),dt + C

Passo 4

Para ajustar a constante C, usamos y(0)=1. Em t=0 temos exp(0)=1 e
1cdot1 = integral0^0exp!l(tfracs^24r),ds + C Longrightarrow C=1
Substituindo de volta e isolando y(t):
y(t) =exp!l(-tfract^24r)l( integral0^texp!l(tfracs^24r),ds + 1r)

Resposta

y(t) =exp!l(-tfract^24r)l( 1 + integral0^texp!l(tfracs^24r),dsr)

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