Resolva o problema de valor inicial
t y^prime+2 y=4 t^2, y(1)=2

Passo 1

O enunciado apresenta uma equação diferencial de primeira ordem linear do tipo y'+p(t)y=q(t) com condição inicial y(1)=2. Aqui temos que resolver a equação diferencial.

Passo 2

Começamos dividindo por t (supondo tneq0) para colocar na forma padrão:
dydt + 2ty = t

Passo 3

Aplicamos a ideia de fator integrante. Identificamos p(t)=2/t e calculamos o fator integrante:
mu(t) = e^integral p(t) dt = e^integral (2/t) dt = e^2ln|t| = t^2

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(t)=t^2 para obter o lado esquerdo como derivada de produto e integramos:
t^2 dydt + 2ty = t^3
ddt(t^2 y) = t^3
integral ddt(t^2 y) dt = integral t^3 dt
t^2 y = t^44 + C

Passo 5

Por fim, usamos y(1)=2 para achar a constante de integração e obter a solução particular:
(1)^2 (2) = (1)^44 + C
2 = 14 + C
C = 74
Portanto, a solução é
t^2 y = t^44 + 74
y = t^24 + 74t^2

Resposta

y(t)=t^2+t^-2

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