Resolva a equação diferencial dada.
(e^x+e^-x) d yd x=y^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
l(e^x+e^-xr),dydx=y^2
Este é um caso de equação diferencial de variáveis separáveis: podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro e depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis dividindo ambos os lados por l(e^x+e^-xr) e por y^2:
1y^2,dy ;=;1e^x+e^-x,dx

Passo 3

Integre os dois lados:
integral 1y^2,dy ;=;integral 1e^x+e^-x,dx

Passo 4

Calcule cada integral separadamente.
Para o lado esquerdo:
integral y^-2,dy = -,y^-1 + C1
Para o lado direito, observe que
1e^x+e^-x =e^xe^2x+1,
então, fazendo u=e^x (logo du=e^x,dx), temos
integral 1e^x+e^-x,dx =integral e^xe^2x+1,dx =integral duu^2+1 =arctan(u) + C2 =arctanl(e^xr)+C2

Passo 5

Igualando resultados (absorvendo C1-C2 num único C), obtemos
-,1y=arctanl(e^xr)+C Longrightarrow 1y=-arctanl(e^xr)+C'
onde C'=-C. Finalmente, isolamos y:
y(x)=1,C' - arctanl(e^xr),,
que é a solução geral da equação.

Resposta

y(x)=1,C - arctanl(e^xr),,
onde C é constante arbitrária.

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