Resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
Temos a equação diferencial
Isso é uma equação de primeira ordem da forma
, onde
Vamos verificar se ela é exata ou, em caso negativo, encontrar um fator integrante.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa apenas de
ou de
. Testamos
que depende só de
. Logo existe um fator integrante
.
Passo 4
O fator integrante é
Passo 5
Multiplicando a equação original por
, obtemos
Agora
Passo 6
Verificamos a exatidão:
portanto a equação é exata.
Passo 7
Existe uma função potencial
tal que
Integrando em
:
Para determinar
, impomos
logo
e
Passo 8
A função potencial completa é
A solução implícita da equação diferencial é
ou seja