Resolva a equação diferencial dada.
6 x y d x+(4 y+9 x^2) d y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial
6x y,dx + l(4y + 9x^2r),dy = 0
Isso é uma equação de primeira ordem da forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, onde
M(x,y)=6xy, N(x,y)=4y+9x^2
Vamos verificar se ela é exata ou, em caso negativo, encontrar um fator integrante.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=6x, partial Npartial x=18x
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa apenas de x ou de y. Testamos
Nx - MyM =18x - 6x6xy =12x6xy =2y,
que depende só de y. Logo existe um fator integrante mu(y).

Passo 4

O fator integrante é
mu(y) =expl(integral 2y,dyr) =expl(2ln|y|r) =y^2

Passo 5

Multiplicando a equação original por y^2, obtemos
6x y^3,dx + l(4y^3 + 9x^2y^2r),dy = 0
Agora
M^*(x,y)=6x y^3, N^*(x,y)=4y^3+9x^2y^2

Passo 6

Verificamos a exatidão:
partial M^*partial y =18x y^2, partial N^*partial x =18x y^2,
portanto a equação é exata.

Passo 7

Existe uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M^* =6x y^3
Integrando em x:
psi(x,y) =integral 6x y^3,dx =3x^2 y^3 + h(y)
Para determinar h(y), impomos
partial psipartial y =9x^2 y^2 + h'(y) stackrel!= N^* =4y^3+9x^2y^2,
logo h'(y)=4y^3 e
h(y)=y^4

Passo 8

A função potencial completa é
psi(x,y)=3x^2 y^3 + y^4
A solução implícita da equação diferencial é
psi(x,y)=C,
ou seja
3x^2 y^3 + y^4 = C

Resposta

3x^2 y^3 + y^4 = C.

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