Resolva a equação diferencial dada.
x^2 y^prime+y^2=x y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x^2,y' + y^2 = x,y
Este é um caso de equação de Bernoulli porque, após dividir por x^2, fica no formato
y' + P(x),y = Q(x),y^n
com nneq0,1.

Passo 2

Dividindo a equação original por x^2 (admitindo xneq0), obtemos
y' + gl(-1xgr)y = -1x^2,y^2
Logo, é uma equação de Bernoulli com P(x)=-1/x, Q(x)=-1/x^2 e n=2.

Passo 3

Fazemos a substituição padrão para Bernoulli:
u = y^1-n = y^-1
Então
dudx = -y^-2,dydx

Passo 4

Expressando a equação em u:
dydx - 1x,y = -1x^2,y^2 ;Longrightarrow; -y^2,dudx - 1x,y = -1x^2,y^2
Como y^2=1/u^2, simplifica para a linear
dudx + 1x,u = 1x^2

Passo 5

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral tfrac1x,dxr) = x
Multiplicando a equação por mu(x)
x,dudx + u = 1x ;Longrightarrow; ddxl(x,ur) = 1x

Passo 6

Integramos em x:
x,u = integral 1x,dx = lnlvert xrvert + C,
onde C é constante arbitrária. Assim
u = lnlvert xrvert + Cx

Passo 7

Voltando à variável y, temos u=1/y, logo
1y = lnlvert xrvert + Cx ;Longrightarrow; y = xlnlvert xrvert + C
Além disso, existe a solução singular yequiv 0.

Resposta

A solução geral é
y(x)=xlnlvert xrvert + C,
com constante C, mais a solução trivial
y(x)=0

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