Resolva a equação diferencial dada.
(y^2+y x) d x-x^2 d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
l(y^2+yxr),dx - x^2,dy = 0
Trata-se de uma equação de primeira ordem em que ambos os termos são formas homogêneas de grau 2 em x e y. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição para equações homogêneas, definindo
y = v,x

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação na forma
dydx = y^2 + x,yx^2
Fatorando y no numerador, temos
dydx = y,(y + x)x^2 = yx,y + xx = l(yxr)^2 + yx,
o que mostra explicitamente que o coeficiente da derivada depende só de y/x.

Passo 3

Com a substituição y = v,x, obtemos
dydx = v + x,dvdx
Substituindo em dydx = v^2 + v, resulta
v + x,dvdx = v^2 + v Longrightarrow x,dvdx = v^2

Passo 4

Agora separamos as variáveis v e x:
dvv^2 = dxx

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral dvv^2 = integral dxx Longrightarrow -,1v = lnlvert xrvert + C

Passo 6

Voltando à variável original y, lembramos que v = y/x, então
-,1y/x = lnlvert xrvert + C Longrightarrow -,xy = lnlvert xrvert + C Longrightarrow xy + lnlvert xrvert = C',
onde C'=-C é constante arbitrária.

Resposta

boxedxy + lnlvert xrvert = C

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