resolva a equação diferencial dada encontrando, como no Exemplo 4, um fator integrante apropriado.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e pede para resolvê-la encontrando um fator integrante, ou seja, transformar a equação em exata usando um multiplicador conveniente.
e pede para resolvê-la encontrando um fator integrante, ou seja, transformar a equação em exata usando um multiplicador conveniente.
Passo 2
Verificamos a exatidão pura calculando
e
;
como , a equação não é exata.
como
Passo 3
Buscamos um fator integrante
que dependa só de
. Para isso usamos a condição
que é função apenas de
. Logo
satisfaz
,
daí
.
daí
Passo 4
Multiplicando a equação original por
obtemos
que agora é exata pois
.
Procuramos então uma função potencial tal que
Procuramos então uma função potencial
Integrando em
vem
Em seguida impomos
logo
e
é constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
onde
é constante de integração.