resolva a equação diferencial dada encontrando, como no Exemplo 4, um fator integrante apropriado.
(2 y^2+3 x) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(2y^2+3x),dx+2xy,dy=0
e pede para resolvê-la encontrando um fator integrante, ou seja, transformar a equação em exata usando um multiplicador conveniente.

Passo 2

Verificamos a exatidão pura calculando
partial Mpartial y=4y e partial Npartial x=2y;
como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante mu que dependa só de x. Para isso usamos a condição
partial Mpartial y-partial Npartial xN =4y-2y2xy=1x,
que é função apenas de x. Logo mu satisfaz
dlnmudx=1x,
daí
mu(x)=x.

Passo 4

Multiplicando a equação original por x obtemos
(2xy^2+3x^2),dx+2x^2y,dy=0,
que agora é exata pois
partial(2xy^2+3x^2)/partial y=partial(2x^2y)/partial x=4xy.
Procuramos então uma função potencial psi(x,y) tal que
partialpsipartial x=2xy^2+3x^2
Integrando em x vem
psi(x,y)=integral(2xy^2+3x^2),dx =x^2y^2+x^3+h(y)
Em seguida impomos
partialpsipartial y=2x^2y+h'(y)=2x^2y,
logo h'(y)=0 e h é constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
x^2y^2+x^3=C,
onde C é constante de integração.

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