Seja r(t)=t^{2} \vec{i}+\arctan 2 t \vec{j}+e^{-t} \vec{k}. Calcule.
a. \frac{d r}{d t}(t)
b. \frac{d^{2} r}{d t^{2}}(t)

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
r(t)=t^{2}\,\vec{i}+\arctan(2t)\,\vec{j}+e^{-t}\,\vec{k}
e pede a primeira e a segunda derivadas em relação a t. Para isso usaremos a regra básica de derivação de potências, a regra da cadeia em \arctan(2t) e em e^{-t}, além de derivar componente a componente.

Passo 2

Para obter \frac{dr}{dt}(t), derivamos cada componente:
- Derivada de t^{2} é 2t.
- Derivada de \arctan(2t): aplicamos a regra da cadeia
\frac{d}{dt}\bigl[\arctan(2t)\bigr] =\frac{1}{1+(2t)^{2}}\cdot\frac{d}{dt}(2t) =\frac{2}{1+4t^{2}}.
- Derivada de e^{-t}:
\frac{d}{dt}\bigl[e^{-t}\bigr] =-e^{-t}.
Logo,
\frac{dr}{dt}(t) =2t\,\vec{i}+\frac{2}{1+4t^{2}}\,\vec{j}-e^{-t}\,\vec{k}.

Passo 3

Agora derivamos \frac{dr}{dt}(t) para obter \frac{d^{2}r}{dt^{2}}(t):
- Derivada de 2t é 2.
- Derivada de \frac{2}{1+4t^{2}}: escrevendo como 2(1+4t^{2})^{-1} e aplicando a regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\Bigl[2(1+4t^{2})^{-1}\Bigr] =2\cdot(-1)(1+4t^{2})^{-2}\cdot 8t =-\frac{16t}{(1+4t^{2})^{2}}.
- Derivada de -e^{-t} é -\,(-e^{-t})=e^{-t}.
Portanto,
\frac{d^{2}r}{dt^{2}}(t) =2\,\vec{i} -\frac{16t}{(1+4t^{2})^{2}}\,\vec{j} +e^{-t}\,\vec{k}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dr}{dt}(t)=2t\,\vec{i}+\frac{2}{1+4t^{2}}\,\vec{j}-e^{-t}\,\vec{k}.
(b) \displaystyle \frac{d^{2}r}{dt^{2}}(t)=2\,\vec{i}-\frac{16t}{(1+4t^{2})^{2}}\,\vec{j}+e^{-t}\,\vec{k}.

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