Resolva o problema de valor inicial dado.
(\frac{d y}{d x}=\cos (x+y), \quad y(0)=\pi / 4)

Passo 1

O enunciado nos dá um problema de valor inicial
dydx = cos(x+y), y(0) = pi4
O conteúdo aqui é uma EDO que fica mais fácil se fizermos uma substituição para torná-la separável.

Passo 2

Definimos
u = x + y
Diferenciando em relação a x,
dudx = 1 + dydx = 1 + cos(u),
logo podemos escrever
du1 + cos(u) = dx

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, usamos a identidade trigonométrica
1 + cos(u) = 2cos^2!l(tfracu2r)
Isso dá
integral du1+cos(u) = integral du2cos^2(tfracu2) = integral sec^2!l(tfracu2r),dl(tfracu2r) = tan!l(tfracu2r)
Portanto
tan!l(tfracu2r) = x + C

Passo 4

A condição inicial x=0, y=tfracpi4 implica u(0)=0+tfracpi4=tfracpi4. Assim
C = tan!l(tfracpi/42r) = tan!l(tfracpi8r)

Passo 5

Voltando a u=x+y, a solução implícita é
tan!l(tfracx+y2r) = x + tan!l(tfracpi8r)
Isolando y, obtemos
x+y2 = arctan!l(x + tan!l(tfracpi8r)r) Longrightarrow y(x) = 2,arctan!l(x + tan!l(tfracpi8r)r) ;-; x

Resposta

y(x) = 2arctan!l(x + tan(tfracpi8)r) - x

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