Numa rodovia federal, medindo-se a posição de um ônibus que partiu do marco zero da rodovia, obtiveram-se as seguintes marcações:
T (minutos) 60 80 100 120 140 160 180
\mathrm{D}(\mathrm{km}) 76 95 112 138 151 170 192
Utilize a Forma de Newton para encontrar um polinômio de grau 3 que aproxime o posicionamento do ônibus para os tempos de:
95 minutos:

Passo 1

Temos os pontos
(60,76),\;(80,95),\;(100,112),\;(120,138)
e queremos um polinômio de grau 3 em Forma de Newton para estimar D(95). Usaremos os nós
x_0=60,\;x_1=80,\;x_2=100,\;x_3=120
e construiremos as diferenças divididas até a ordem 3.

Passo 2

Calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
f[x_0,x_1] = \frac{95-76}{80-60} =0{,}95, \quad f[x_1,x_2] = \frac{112-95}{100-80} =0{,}85, \quad f[x_2,x_3] = \frac{138-112}{120-100} =1{,}30.

Passo 3

Calculamos as diferenças divididas de segunda ordem:
f[x_0,x_1,x_2] = \frac{0{,}85-0{,}95}{100-60} = -0{,}0025, \quad f[x_1,x_2,x_3] = \frac{1{,}30-0{,}85}{120-80} =0{,}01125.

Passo 4

Calculamos a diferença dividida de terceira ordem:
f[x_0,x_1,x_2,x_3] = \frac{0{,}01125-(-0{,}0025)}{120-60} =0{,}00022917\;\text{(aprox.)}.

Passo 5

O polinômio de Newton de grau 3 é
P_3(t) =76 +0{,}95\,(t-60) -0{,}0025\,(t-60)(t-80) +0{,}00022917\,(t-60)(t-80)(t-100).
Para t=95 temos:
P_3(95) =76 +0{,}95\cdot35 -0{,}0025\cdot35\cdot15 +0{,}00022917\cdot35\cdot15\cdot(-5) \approx107{,}336.

Resposta

A estimativa pelo polinômio de grau 3 em t=95 é
D(95)\approx107{,}336\text{ km}.

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