Usando o teste da razão, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1} \frac{1.3 .5 ···(2 n-1)}{1.4 .7 ···(3 n-2)}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da razão na série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{1\cdot 4\cdot 7\cdots(3n-2)}
para decidir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Como todos os termos são positivos, “convergência absoluta” e “convergência” coincidem, e basta verificar o teste da razão.

Passo 2

Denotemos
a_n = \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{1\cdot 4\cdot 7\cdots(3n-2)}.
O teste da razão pede que calculemos
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.

Passo 3

Vamos escrever a razão dos termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1\cdot 3\cdot\cdots\,(2n-1)\,(2(n+1)-1)} {1\cdot 4\cdot\cdots\,(3n-2)\,(3(n+1)-2)} \;\Big/\; \frac{1\cdot 3\cdot\cdots\,(2n-1)}{1\cdot 4\cdot\cdots\,(3n-2)} = \frac{2n+1}{3n+1}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n+1} = \frac{2}{3}.
Como L=\tfrac{2}{3}<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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