Use a substituição x=e^{t} para transformar a equação de Cauchy-Euler dada em uma equação com coeficientes cosntantes e resolva.
x^{2} y^{\prime \prime}+9 x y^{\prime}-20 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Cauchy–Euler
x^{2}y''+9x\,y'-20y=0
usando a substituição x=e^{t}, de modo que a gente transforme essa equação numa equação de coeficientes constantes em t. Vamos precisar saber como y' e y'' em função de x viram derivadas de uma nova função u(t)=y(e^{t}).

Passo 2

Fazendo t=\ln x e definindo
u(t)=y(x)=y(e^{t}),
temos primeiro
\frac{du}{dt} = y'(x)\,\frac{dx}{dt} = y'(x)\,e^{t} = x\,y'(x),
ou seja
y'(x)=\frac{u'(t)}{x}.
Para a segunda derivada, derivamos y'(x)=u'/x em relação a x:
y''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{u'}{x}\Bigr) =\frac{1}{x}\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{u'}{x}\Bigr) =\frac{1}{x}\Bigl(\frac{u''}{x}-\frac{u'}{x}\Bigr) =\frac{u''-u'}{x^{2}}.

Passo 3

Agora substituímos em
x^{2}y''+9x\,y'-20y=0:
x^{2}\Bigl(\frac{u''-u'}{x^{2}}\Bigr) +9x\Bigl(\frac{u'}{x}\Bigr) -20u = 0 \quad\Longrightarrow\quad u''-u' +9u' -20u = 0
ou seja
u'' +8u' -20u = 0,
que é uma ODE de coeficientes constantes em t.

Passo 4

Para resolver
u''+8u'-20u=0
montamos a equação característica
r^{2}+8r-20=0
cuja solução é
r=\frac{-8\pm\sqrt{8^{2}+4\cdot20}}{2} =\frac{-8\pm\sqrt{144}}{2} =\frac{-8\pm12}{2},
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r_{1}=2, \quad r_{2}=-10.
Isso dá a solução geral
u(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-10t}.

Passo 5

Voltando para y, lembrando que x=e^{t} implica e^{2t}=x^{2} e e^{-10t}=x^{-10}, obtemos
y(x)=u(\ln x) =C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-10}.

Resposta

A solução geral da equação
x^{2}y''+9x\,y'-20y=0
é
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-10}.

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