Use a substituição
para transformar a equação de Cauchy-Euler dada em uma equação com coeficientes cosntantes e resolva.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Cauchy–Euler
usando a substituição
, de modo que a gente transforme essa equação numa equação de coeficientes constantes em
. Vamos precisar saber como
e
em função de
viram derivadas de uma nova função
.
Passo 2
Fazendo
e definindo
temos primeiro
ou seja
Para a segunda derivada, derivamos
em relação a
:
Passo 3
Agora substituímos em
ou seja
que é uma ODE de coeficientes constantes em
.
Passo 4
Para resolver
montamos a equação característica
cuja solução é
logo
Isso dá a solução geral
Passo 5
Voltando para
, lembrando que
implica
e
, obtemos
Resposta
A solução geral da equação
é