Resolva o problema de valor inicial dado.
x y^{\prime \prime}+y^{\prime}=x, y(1)=1, y^{\prime}(1)=\frac{-1}{2}

Passo 1

Resumindo, temos o problema de valor inicial
x\,y'' + y' = x,\quad y(1)=1,\quad y'(1)=-\tfrac12.
O conteúdo aqui é reduzir a equação de segunda ordem a uma de primeira ordem, definindo v=y'.

Passo 2

Definimos
v(x)=y'(x)\quad\Longrightarrow\quad y''=v'.
Substituindo na equação original, obtemos
x\,v' + v = x.

Passo 3

Repare que \,x\,v' + v = x é uma equação linear de primeira ordem em v com termo \tfrac{v}{x}. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int\frac{1}{x}dx\Bigr)=x.
Multiplicando tudo por x
\frac{d}{dx}\bigl(x\,v\bigr)=x.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
x\,v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C_1,
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v = y' = \frac{x}{2} + \frac{C_1}{x}.

Passo 5

Agora integramos v para achar y:
y(x) = \int\Bigl(\frac{x}{2}+\frac{C_1}{x}\Bigr)dx = \frac{x^2}{4} + C_1\ln x + C_2.

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Para y'(1)=-\tfrac12:
y'(1)=\frac{1}{2} + C_1 = -\frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad C_1=-1.
Para y(1)=1:
y(1)=\frac{1}{4} + (-1)\cdot0 + C_2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_2=\frac{3}{4}.

Resposta

y(x) = \frac{x^2}{4} - \ln x + \frac{3}{4}.

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