Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{3}}{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{y^{3}}{x^{2}},
que é do tipo separável. Para resolvê-la, precisamos separar as variáveis y e x, depois integrar ambos os lados e, por fim, isolar y.

Passo 2

Separe as variáveis de modo que todos os termos em y fiquem de um lado e todos os termos em x do outro. Podemos escrever
\frac{dy}{dx} = \frac{y^{3}}{x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^{3}} = \frac{dx}{x^{2}}.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{y^{3}} = \int \frac{dx}{x^{2}}.
Calcule cada integral:
\int y^{-3} dy = \frac{y^{-2}}{-2} + C_{1}, \qquad \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C_{2}.
Como basta um único constante de integração, juntamos C_{1} e C_{2} em C.

Passo 4

Igualando as primitivas e renomeando a constante:
-\frac{1}{2\,y^{2}} = -\frac{1}{x} + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2\,y^{2}} = \frac{1}{x} + C.
Agora isolamos y^{2}:
y^{2} = \frac{1}{2\bigl(\frac{1}{x} + C\bigr)} = \frac{x}{2\,(1 + C\,x)}.
Portanto, a solução geral é
y = \pm \sqrt{\frac{x}{2\,(1 + C\,x)}},
onde C é a constante arbitrária.

Resposta

y(x) = \pm \sqrt{\frac{x}{2\,(1 + C\,x)}},
com C constante de integração.

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