Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
\left(e^{x}+e^{-x}\right) \frac{d y}{d x}=y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
\left(e^{x}+e^{-x}\right)\frac{dy}{dx}=y^{2}.
O conteúdo aqui é separação de variáveis e integração de funções elementares.

Passo 2

Isolamos dy e dx em lados opostos. Primeiro escrevemos
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}}{e^{x}+e^{-x}},
de onde segue
\frac{1}{y^{2}}\,dy=\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y^{-2}\,dy=\int\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,dx.

Passo 4

No lado esquerdo,
\int y^{-2}\,dy=-\frac{1}{y}.
No direito, fazemos a substituição t=e^{x}, logo dt=e^{x}dx, e
\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\,dx =\frac{1}{t+1/t}\,\frac{dt}{t} =\frac{dt}{t^{2}+1}.
Então
\int\frac{dt}{t^{2}+1}=\arctan(t)+C =\arctan\bigl(e^{x}\bigr)+C.

Passo 5

Igualando as integrais obtidas:
-\frac{1}{y}=\arctan\bigl(e^{x}\bigr)+C.
Isolamos y. Podemos escrever C'=-C, ficando
\frac{1}{y}=C'-\arctan\bigl(e^{x}\bigr),
ou seja
y(x)=\frac{1}{\,C'-\arctan\bigl(e^{x}\bigr)\!},
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

y(x)=\frac{1}{C-\arctan\bigl(e^{x}\bigr)},
com C constante de integração.

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