Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
\left(y^{2}+3 x y\right) d x=\left(4 x^{2}+x y\right) d y, y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{y^2+3xy}{4x^2+xy}
com condição inicial y(1)=1. Como o quociente à direita depende apenas de \tfrac{y}{x}, trata-se de equação homogênea, e vamos usar a substituição
y = v\,x.

Passo 2

Substituindo y=vx obtemos
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}
e
\frac{y^2+3xy}{4x^2+xy} =\frac{(vx)^2+3x(vx)}{4x^2+x(vx)} =\frac{v(v+3)}{v+4}.
Logo a equação vira
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{v(v+3)}{v+4} \quad\Longrightarrow\quad x\frac{dv}{dx}=\frac{v(v+3)-v(v+4)}{v+4} =\frac{-v}{v+4}.

Passo 3

Separamos variáveis e integramos:
\int\frac{v+4}{v}\,dv=-\int\frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int\!\Bigl(1+\frac{4}{v}\Bigr)dv=-\ln|x|+C
\Longrightarrow\quad v+4\ln|v|=-\ln|x|+C.

Passo 4

Voltando a v=\frac{y}{x},
\frac{y}{x}+4\ln\Bigl|\frac{y}{x}\Bigr| =-\ln|x|+C \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{x}+4\ln|y|-3\ln|x|=C.

Passo 5

Usando y(1)=1 temos
1+4\ln1-3\ln1=C \;\Longrightarrow\; C=1.
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
\frac{y}{x}+4\ln|y|-3\ln|x|=1.

Resposta

\displaystyle \frac{y}{x} + 4\ln|y| - 3\ln|x| = 1.

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