Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
2 x^{2} \frac{d y}{d x}=3 x y+y^{2}, y(1)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2x^{2}\frac{dy}{dx}=3xy+y^{2}
com condição inicial y(1)=-2.
Esse tipo de equação é homogênea, pois o numerador 3xy+y^{2} é de grau 2 em (x,y). Vamos usar a substituição
v=\frac{y}{x},
que transforma a equação em uma de variáveis separáveis.

Passo 2

Reescrevendo a equação em termos de y e x:
\frac{dy}{dx}=\frac{3xy+y^{2}}{2x^{2}} =\frac{y^{2}/x^{2}+3y/x}{2} =\frac{v^{2}+3v}{2}.
Como y=vx, temos
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituindo nessa última expressão:
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{v^{2}+3v}{2}.
Isolamos o termo com dv/dx:
x\frac{dv}{dx}=\frac{v^{2}+3v}{2}-v =\frac{v^{2}+v}{2} =\frac{v(v+1)}{2}.

Passo 3

Separamos as variáveis v e x:
\frac{dv}{v(v+1)} =\frac{dx}{2x}.
Agora integramos ambos os lados:
\int\frac{dv}{v(v+1)} =\int\frac{dx}{2x}.
Na parte esquerda usamos frações parciais:
\frac{1}{v(v+1)} =\frac{1}{v}-\frac{1}{v+1},
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\int\!\Bigl(\frac{1}{v}-\frac{1}{v+1}\Bigr)dv =\ln\bigl|v\bigr|-\ln\bigl|v+1\bigr|.
Na parte direita
\int\frac{dx}{2x} =\frac{1}{2}\ln\bigl|x\bigr|+C.
Assim,
\ln\Bigl|\frac{v}{v+1}\Bigr| =\frac{1}{2}\ln\bigl|x\bigr|+C.

Passo 4

Exponenciando,
\frac{v}{v+1} =K\,x^{1/2},
onde K=e^{C}. Voltando a y por v=y/x:
\frac{y/x}{y/x+1} =\frac{y}{y+x} =K\,\sqrt{x}.
Multiplicando em cima e embaixo,
y=K\sqrt{x}\,(y+x) \quad\Longrightarrow\quad y\bigl(1-K\sqrt{x}\bigr) =K\,x^{3/2},
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y=\frac{K\,x^{3/2}}{1-K\,x^{1/2}}.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(1)=-2:
-2 =\frac{K\cdot1^{3/2}}{1-K\cdot1^{1/2}} =\frac{K}{1-K} \quad\Longrightarrow\quad -2(1-K)=K \quad\Longrightarrow\quad K=2.
Substituindo em y:
y=\frac{2\,x^{3/2}}{1-2\,x^{1/2}}.

Resposta

y(x)=\frac{2\,x^{3/2}}{1-2\,\sqrt{x}}.

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