Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
2 x^{2} \frac{d y}{d x}=3 x y+y^{2}, y(1)=-2
2 x^{2} \frac{d y}{d x}=3 x y+y^{2}, y(1)=-2
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com condição inicial
.
Esse tipo de equação é homogênea, pois o numerador é de grau 2 em
. Vamos usar a substituição
Esse tipo de equação é homogênea, pois o numerador
que transforma a equação em uma de variáveis separáveis.
Passo 2
Reescrevendo a equação em termos de
e
:
Como
, temos
Substituindo nessa última expressão:
Isolamos o termo com
:
Passo 3
Separamos as variáveis
e
:
Agora integramos ambos os lados:
Na parte esquerda usamos frações parciais:
logo
Na parte direita
Assim,
Passo 4
Exponenciando,
onde
. Voltando a
por
:
Multiplicando em cima e embaixo,
logo
Passo 5
Usamos a condição inicial
:
Substituindo em
: