Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
y d x+\left(y \cos \frac{x}{y}-x\right) d y=0, y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y\,dx + \bigl(y\cos\!(\tfrac{x}{y}) - x\bigr)\,dy = 0
com a condição inicial y(0)=2.
Este é um caso de equação homogênea em x e y, pois \cos(x/y) depende apenas da razão x/y. Vamos usar a substituição
u = \frac{x}{y}
para reduzir a equação a uma de variáveis separáveis.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação na forma dx/dy = \dots. Da forma dada, isolamos
y\,dx + \bigl(y\cos(u)-x\bigr)\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{dy} = -\,\frac{y\cos(u)-x}{y} = -\cos(u) + \frac{x}{y}.

Passo 3

Com a substituição x = u\,y temos
\frac{dx}{dy} = u + y\,\frac{du}{dy}.
Igualando as duas expressões de dx/dy,
u + y\,\frac{du}{dy} = -\cos(u) + u \quad\Longrightarrow\quad y\,\frac{du}{dy} = -\cos(u).
Agora a equação está separável.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
\frac{du}{-\cos(u)} = \frac{dy}{y} \quad\Longrightarrow\quad -\int \operatorname{sec}(u)\,du = \int \frac{dy}{y}.
Sabemos que \int \operatorname{sec}(u)\,du = \ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr|. Logo,
-\ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr| = \ln|y| + C.
Rearranjando,
\ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr| = -\ln|y| + C' \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sec}(u)+\tan(u) = \frac{K}{y},
onde K=e^{C'}.

Passo 5

Voltando a u = x/y, a solução implícita é
\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) + \tan\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) = \frac{K}{y}.
Para x=0 e y(0)=2 temos u=0, então
\operatorname{sec}(0)+\tan(0)=1 = \frac{K}{2} \quad\Longrightarrow\quad K=2.
Assim a solução satisfaz a condição inicial.

Resposta

\boxed{\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) + \tan\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) = \frac{2}{y}.}

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