Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
y d x+\left(y \cos \frac{x}{y}-x\right) d y=0, y(0)=2
y d x+\left(y \cos \frac{x}{y}-x\right) d y=0, y(0)=2
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com a condição inicial
.
Este é um caso de equação homogênea em e
, pois
depende apenas da razão
. Vamos usar a substituição
Este é um caso de equação homogênea em
para reduzir a equação a uma de variáveis separáveis.
Passo 2
Primeiro escrevemos a equação na forma
. Da forma dada, isolamos
Passo 3
Com a substituição
temos
Igualando as duas expressões de
,
Agora a equação está separável.
Passo 4
Separamos variáveis e integramos:
Sabemos que
. Logo,
Rearranjando,
onde
.
Passo 5
Voltando a
, a solução implícita é
Para
e
temos
, então
Assim a solução satisfaz a condição inicial.