Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Estamos diante de uma equação diferencial linear homogênea de ordem cinco com coeficientes constantes:
Para resolver, usamos o método da equação característica, ou seja, procuramos soluções da forma
.
Passo 2
Substituindo
na ODE, cada derivada introduz um fator
. Obtemos a equação característica
Passo 3
Buscamos raízes racionais testando
:
logo
é raiz. Dividindo o polinômio por
(por exemplo, via divisão sintética), obtemos
Passo 4
No quártico
, testamos de novo
:
portanto
é raiz dupla. Dividindo por mais
, achamos
Passo 5
Agora fatoramos o cúbico
. Testando
:
logo
é raiz. Dividindo por
sobra
, cujo discriminante é
de onde as raízes
.
Passo 6
Resumindo, as raízes da característica são
com multiplicidade 2,
com multiplicidade 2,
com multiplicidade 1.
Para cada raiz real de multiplicidade temos as soluções fundamentais
.
Para cada raiz real de multiplicidade
Resposta
A solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.