Resolva as equações diferenciais abaixo:
d^5 ud r^5+5 d^4 ud r^4-2 d^3 ud r^3-10 d^2 ud r^2+d ud r+5 u=0

Passo 1

Estamos diante de uma equação diferencial linear homogênea de ordem cinco com coeficientes constantes:
d^5udr^5 + 5d^4udr^4 - 2d^3udr^3 - 10d^2udr^2 + dudr + 5u = 0
Para resolver, usamos o método da equação característica, ou seja, procuramos soluções da forma u(r)=e^lambda r.

Passo 2

Substituindo u(r)=e^lambda r na ODE, cada derivada introduz um fator lambda. Obtemos a equação característica
lambda^5 + 5lambda^4 -2lambda^3 -10lambda^2 + lambda + 5 = 0

Passo 3

Buscamos raízes racionais testando lambda=1:
1^5 +5cdot1^4 -2cdot1^3 -10cdot1^2 +1 +5 = 0,
logo lambda=1 é raiz. Dividindo o polinômio por (lambda-1) (por exemplo, via divisão sintética), obtemos
lambda^5+5lambda^4-2lambda^3-10lambda^2+lambda+5 =(lambda-1)l(lambda^4+6lambda^3+4lambda^2-6lambda-5r)

Passo 4

No quártico lambda^4+6lambda^3+4lambda^2-6lambda-5, testamos de novo lambda=1:
1+6+4-6-5=0,
portanto lambda=1 é raiz dupla. Dividindo por mais (lambda-1), achamos
lambda^4+6lambda^3+4lambda^2-6lambda-5 =(lambda-1)l(lambda^3+7lambda^2+11lambda+5r)

Passo 5

Agora fatoramos o cúbico lambda^3+7lambda^2+11lambda+5. Testando lambda=-1:
(-1)^3+7(-1)^2+11(-1)+5 = -1+7-11+5 = 0,
logo lambda=-1 é raiz. Dividindo por (lambda+1) sobra lambda^2+6lambda+5, cujo discriminante é
De<a = 6^2-4cdot1cdot5 = 36-20=16,
de onde as raízes lambda = -6pmraiz162 = -1,,-5.

Passo 6

Resumindo, as raízes da característica são
lambda=1 com multiplicidade 2,
lambda=-1 com multiplicidade 2,
lambda=-5 com multiplicidade 1.
Para cada raiz real de multiplicidade m temos as soluções fundamentais e^lambda r,,r,e^lambda r,dots,r^m-1e^lambda r.

Resposta

A solução geral é
u(r) = C1e^r + C2,r,e^r + C3e^-r + C4,r,e^-r + C5e^-5r,
onde C1,dots,C5 são constantes arbitrárias.

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