Resolva as equações diferenciais abaixo:
d^3 xd t^3-d^2 xd t^2-4 x=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de terceira ordem linear homogênea com coeficientes constantes
d^3xdt^3 - d^2xdt^2 - 4x = 0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Substituímos x(t)=e^rt na equação para obter a equação característica
r^3 - r^2 - 4 = 0
Procuramos raízes racionais testando divisores de 4; notamos que r=2 satisfaz
2^3 - 2^2 -4 = 8 -4 -4 = 0

Passo 3

Como r=2 é raiz, dividimos o polinômio por (r-2). Fazendo a divisão, obtemos
r^3 - r^2 -4 = (r-2),(r^2 + r + 2)

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática
r^2 + r + 2 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
r = -1 pm raiz1 - 82 = -1 pm iraiz72

Passo 5

Temos três raízes:
;r1=2 e
;r2,3 = -tfrac12pm i,tfracraiz72
Portanto, a solução geral, reunindo a parte real e imaginária, é
x(t)=C1e^2t +e^-t/2l(C2cosl(tfracraiz72tr) +C3sinl(tfracraiz72tr)r),
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

x(t)=C1e^2t +e^-t/2l(C2cos(tfracraiz72t) +C3sin(tfracraiz72t)r)

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