Verifique se os campos abaixo são conservativos, e determine, caso exista, a função potencial associada:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo e, em caso afirmativo, determinar uma função potencial .
Para isso usaremos o critério
é conservativo e, em caso afirmativo, determinar uma função potencial
Para isso usaremos o critério
num domínio simplesmente conectado (aqui
), e depois integraremos um dos componentes de
para obter
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, concluímos que
é conservativo em
.
Passo 3
Para achar a potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função de
a determinar.
Passo 4
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica
, logo
é constante.
Resposta
onde
é constante arbitrária.