Verifique se os campos abaixo são conservativos, e determine, caso exista, a função potencial associada:
F(x, y)=e^x^2-y^2(2 x i-2 y j)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r)=l(2x e^x^2-y^2,,-2y e^x^2-y^2r)
é conservativo e, em caso afirmativo, determinar uma função potencial phi(x,y).
Para isso usaremos o critério
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x
num domínio simplesmente conectado (aqui R^2), e depois integraremos um dos componentes de F para obter phi.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y =partialpartial yl(2x e^x^2-y^2r) =2xcdot(-2y),e^x^2-y^2 =-4xy,e^x^2-y^2
partial Qpartial x =partialpartial xl(-2y e^x^2-y^2r) =-2ycdot(2x),e^x^2-y^2 =-4xy,e^x^2-y^2
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, concluímos que F é conservativo em R^2.

Passo 3

Para achar a potencial phi, integramos P em relação a x:
phi(x,y) =integral 2x e^x^2-y^2,dx =e^x^2-y^2+h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 4

Derivamos phi em relação a y e igualamos a Q:
partial phipartial y =partialpartial yl(e^x^2-y^2+h(y)r) =-2y,e^x^2-y^2+h'(y) = -2y,e^x^2-y^2
Isso implica h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Resposta

F é conservativo em R^2 e uma função potencial é
phi(x,y)=e^x^2-y^2+C,
onde C é constante arbitrária.

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